Dodawanie logarytmów - wzór, przykłady i najczęstszy błąd

Dodawanie logarytmów polega na zamianie sumy logarytmów o tej samej podstawie na logarytm iloczynu: log_a(x) + log_a(y) = log_a(x·y). Wzór działa tylko wtedy, gdy podstawa jest taka sama, a argumenty są dodatnie. Najczęstszy błąd polega na zapisaniu log(x) + log(y) jako log(x+y). To nie jest poprawne, bo w argumencie po dodaniu logarytmów pojawia się iloczyn, nie suma.

Wzór na dodawanie logarytmów

Wzór na dodawanie logarytmów ma postać: log_a(x) + log_a(y) = log_a(x·y). Słownie oznacza to, że suma dwóch logarytmów o tej samej podstawie równa się logarytmowi iloczynu ich argumentów.

Warunki są równie ważne jak sam wzór. Podstawa a musi być dodatnia i różna od 1, czyli a>0 oraz a ≠ 1. Argumenty x i y również muszą być dodatnie. Nie można obliczać logarytmu z zera ani z liczby ujemnej w standardowym zakresie szkolnym, dlatego przed zastosowaniem wzoru zawsze sprawdza się dziedzinę.

Sens tego wzoru wynika z własności potęg. Logarytm odpowiada na pytanie, do jakiej potęgi trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać daną liczbę. Jeśli dwie liczby zapisze się jako potęgi tej samej podstawy, to przy mnożeniu tych liczb wykładniki się dodają. Dlatego suma logarytmów przechodzi w logarytm iloczynu.

Dla porządku warto znać także wzór pokrewny: log_a(x) - log_a(y) = log_a(x/y). Różnica logarytmów o tej samej podstawie odpowiada logarytmowi ilorazu. W dodawaniu działa jednak iloczyn, dlatego w zadaniach trzeba szczególnie uważać na znak działania między logarytmami.

Dodawanie logarytmów - przykłady krok po kroku

Najprościej zobaczyć działanie wzoru na liczbach, które łatwo sprawdzić za pomocą potęg. W każdym przykładzie najpierw sprawdza się, czy podstawy są takie same, a potem mnoży się argumenty.

• log_10(2) + log_10(5) = log_10(2·5) = log_10(10) = 1, ponieważ 10^1 = 10.
• log_2(4) + log_2(8) = log_2(4·8) = log_2(32) = 5, ponieważ 2^5 = 32.
• log_3(9) + log_3(3) = log_3(9·3) = log_3(27) = 3, ponieważ 3^3 = 27.

W pierwszym przykładzie oba logarytmy mają podstawę 10, więc można pomnożyć argumenty 2 i 5. Powstaje log_10(10), a to daje 1. W drugim przykładzie podstawa wynosi 2, argumenty 4 i 8 dają iloczyn 32, a logarytm o podstawie 2 z 32 wynosi 5. W trzecim przykładzie 9 razy 3 daje 27, a 27 to trzecia potęga liczby 3.

Takie przykłady dobrze pokazują, że wzór nie jest sztuczną regułą do zapamiętania. On skraca zapis i pozwala przejść od dwóch logarytmów do jednego, ale tylko wtedy, gdy wszystkie warunki są spełnione.

Najczęstszy błąd: log(x)+log(y) to nie log(x+y)

Najczęstszy błąd przy dodawaniu logarytmów polega na tym, że suma argumentów trafia pod jeden logarytm. Taki zapis jest niepoprawny: log(x) + log(y) ≠ log(x+y). Poprawna własność mówi o iloczynie, czyli log(x) + log(y) = log(x·y), jeśli oba logarytmy mają tę samą podstawę.

Kontrprzykład można sprawdzić na prostych liczbach. Dla podstawy 10 zachodzi log_10(2) + log_10(5) = log_10(10) = 1. Gdyby błędnie dodać argumenty, wyszłoby log_10(2+5), czyli log_10(7). Ta wartość nie jest równa 1, bo 10^1 = 10, a nie 7.

Błąd bierze się stąd, że w zapisie pojawia się znak plus między logarytmami, więc łatwo przenieść go mechanicznie do argumentu. Własności logarytmów nie działają jednak w ten sposób. Dodawanie logarytmów odpowiada mnożeniu argumentów, a odejmowanie logarytmów odpowiada dzieleniu argumentów.

W zadaniach szkolnych warto więc wykonać prosty test: jeśli po lewej stronie jest log_a(x) + log_a(y), po prawej stronie musi pojawić się log_a(x·y), a nie log_a(x+y). Ten jeden nawyk usuwa większość pomyłek w prostych przekształceniach.

Kiedy nie można dodać logarytmów wprost

Logarytmów nie można dodać wprost wtedy, gdy mają różne podstawy albo gdy któryś argument jest niedodatni. Wzór log_a(x) + log_a(y) = log_a(x·y) wymaga tej samej podstawy i dodatnich argumentów.

Jeśli pojawia się log_2(4) + log_3(9), nie można od razu zapisać jednego logarytmu z iloczynu 4·9. Podstawy 2 i 3 są różne, więc wzór na sumę logarytmów nie pasuje do takiego wyrażenia. W takiej sytuacji można policzyć wartości osobno albo użyć wzoru na zmianę podstawy, jeżeli zadanie tego wymaga.

Drugi przypadek dotyczy argumentów. Wyrażenia log_a(0), log_a(-2) czy log_a(x-5) bez sprawdzenia, czy x-5 jest dodatnie, nie mogą być bezpiecznie przekształcane. Przy równaniach logarytmicznych dziedzina jest obowiązkowa, bo po przekształceniach mogą pojawić się rozwiązania, które nie spełniają warunków początkowych.

Najważniejsze ograniczenia można ująć krótko:

• podstawy logarytmów muszą być takie same
• argumenty każdego logarytmu muszą być dodatnie
• przy różnych podstawach trzeba najpierw sprowadzić zapis do wspólnej podstawy albo policzyć wartości.

Te warunki nie są dodatkiem formalnym. Bez nich ten sam zapis może prowadzić do fałszywego wyniku, nawet jeśli samo przekształcenie wygląda znajomo.

Po co dodaje się logarytmy

Dodawanie logarytmów służy przede wszystkim do upraszczania wyrażeń, podobnie jak inne działania na potęgach, które warto znać razem z obliczaniem pierwiastków. Zamiast pracować z sumą kilku logarytmów, można czasem zapisać jeden logarytm z iloczynu. Dzięki temu wyrażenie staje się krótsze i łatwiejsze do dalszych przekształceń.

W równaniach logarytmicznych taka własność pomaga połączyć składniki po jednej stronie równania. Na przykład suma logarytmów może zostać zamieniona na jeden logarytm, co często pozwala porównać argumenty albo przejść do równania bez logarytmów. Nadal trzeba jednak pamiętać o dziedzinie, bo argumenty muszą być dodatnie przed i po przekształceniu.

Wzór przydaje się także w liczeniu bez kalkulatora. Jeśli argument da się rozłożyć na czynniki, które mają wygodne logarytmy, można rozbić jeden logarytm na sumę albo odwrotnie, złożyć sumę w jeden logarytm. Przykład log_10(2) + log_10(5) pokazuje to bardzo wyraźnie: osobne wartości nie są tak oczywiste, ale ich suma daje log_10(10), czyli dokładnie 1.

Często zadawane pytania