Funkcje trygonometryczne - sinus, cosinus, tangens i tabela wartości

Funkcje trygonometryczne, czyli sinus, cosinus i tangens, opisują zależność między kątami a długościami boków w trójkącie prostokątnym. Sinus kąta to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw tego kąta do przeciwprostokątnej, cosinus to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej, a tangens to stosunek obu przyprostokątnych. Brzmi to sucho, ale w praktyce sprowadza się do jednego: jeśli znasz kąt, znasz też proporcje boków, i odwrotnie.

To jeden z tych działów matematyki, który na początku wygląda na zbiór wzorów do wykucia, a po kilku przykładach okazuje się zaskakująco logiczny. Wystarczy dobrze zapamiętać trzy definicje i kilka wartości, a reszta wynika z nich niemal sama.

Co to są funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne to sinus, cosinus, tangens oraz cotangens. W szkole najczęściej pracuje się z trzema pierwszymi, bo cotangens da się zawsze wyliczyć z tangensa. Każda z tych funkcji przypisuje kątowi konkretną liczbę, a liczba ta mówi, w jakiej proporcji pozostają boki trójkąta prostokątnego.

Zacznijmy od samego trójkąta prostokątnego, bo bez niego te definicje wiszą w powietrzu. Trójkąt prostokątny ma jeden kąt prosty, czyli kąt 90 stopni. Bok leżący naprzeciw kąta prostego to przeciwprostokątna, najdłuższy bok trójkąta. Dwa pozostałe boki, które tworzą kąt prosty, to przyprostokątne.

Kiedy patrzymy na jeden z kątów ostrych, oznaczmy go jako alfa, przyprostokątne dzielą się na dwie role. Jedna leży naprzeciw kąta alfa, druga przy nim. To rozróżnienie jest sercem całej trygonometrii, bo od niego zależy, którą liczbę wstawimy do której funkcji. Pomyłka na tym etapie psuje całe zadanie, mimo że rachunki są poprawne.

Definicje: sinus, cosinus i tangens

Sinus kąta alfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do długości przeciwprostokątnej. Zapisujemy to jako sin alfa = a / c, gdzie a to przyprostokątna naprzeciw kąta, a c to przeciwprostokątna.

Cosinus kąta alfa to stosunek przyprostokątnej przyległej do kąta i przeciwprostokątnej, czyli cos alfa = b / c. Litera b oznacza tu przyprostokątną przy kącie alfa. Tangens kąta alfa to już stosunek obu przyprostokątnych: tej naprzeciw kąta do tej przy kącie, więc tg alfa = a / b.

Warto od razu połączyć tangens z dwiema pozostałymi funkcjami, bo to oszczędza mnóstwo liczenia. Tangens jest równy sinusowi podzielonemu przez cosinus: tg alfa = sin alfa / cos alfa. Jeśli więc znasz sinus i cosinus danego kąta, tangens masz od ręki, bez wracania do trójkąta.

Do zapamiętania trzech definicji uczniowie używają skrótów, na przykład od pierwszych liter. Nie ma jednej obowiązkowej metody, ważne, żeby nie mylić przyprostokątnej naprzeciw z przyległą. Ja polecam za każdym razem najpierw podpisać boki trójkąta, a dopiero potem wstawiać liczby do wzoru. Ten jeden dodatkowy krok eliminuje większość błędów.

Ten artykuł traktuj jako przewodnik po całości. Jeśli chcesz zejść głębiej w konkretną funkcję, poznać jej wykres i pełną listę własności, sprawdź osobne omówienia funkcji cosinus oraz tangens. Tu skupiamy się na tym, co łączy wszystkie trzy funkcje i jak ich używać w trójkącie prostokątnym.

Przykład obliczenia funkcji trygonometrycznych

Najlepiej widać to na konkretnych liczbach. Weźmy trójkąt prostokątny o bokach 3, 4 i 5. To klasyczny trójkąt, w którym 3 i 4 to przyprostokątne, a 5 to przeciwprostokątna, bo spełnia twierdzenie Pitagorasa: 3 do kwadratu plus 4 do kwadratu daje 9 plus 16, czyli 25, a to jest 5 do kwadratu.

Oznaczmy kąt alfa jako ten, naprzeciw którego leży bok długości 3. Wtedy przyprostokątna naprzeciw kąta ma długość 3, przyprostokątna przy kącie ma długość 4, a przeciwprostokątna 5. Podstawiamy do wzorów. Sinus alfa to 3 podzielone przez 5, czyli 0,6. Cosinus alfa to 4 podzielone przez 5, czyli 0,8. Tangens alfa to 3 podzielone przez 4, czyli 0,75.

Sprawdźmy jeszcze związek między funkcjami. Tangens powinien być równy sinusowi przez cosinus, więc 0,6 podzielone przez 0,8 daje 0,75. Zgadza się. Ten prosty test to dobry nawyk: jeśli tangens policzony na dwa sposoby wychodzi taki sam, rachunek jest spójny.

Ten przykład pokazuje też, dlaczego sinus i cosinus zawsze są mniejsze od jedności dla kąta ostrego. Przyprostokątna jest krótsza od przeciwprostokątnej, więc dzielimy mniejszą liczbę przez większą. Tangens takiego ograniczenia nie ma, bo dzielimy dwie przyprostokątne, które mogą być niemal dowolne wobec siebie.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych dla 30, 45 i 60 stopni

W zadaniach maturalnych i na sprawdzianach stale wracają trzy kąty: 30, 45 i 60 stopni. Ich wartości trzeba znać na pamięć, bo pojawiają się właściwie wszędzie. Poniżej najważniejsza tabela wartości funkcji trygonometrycznych, zapisana słownie, żeby nic się nie pomyliło. Pełną wersję, obejmującą także kąty 0 i 90 stopni oraz cotangens, znajdziesz w osobnej tabeli trygonometrycznej.

Sinus przyjmuje kolejno: dla 30 stopni jedna druga, dla 45 stopni pierwiastek z 2 podzielony przez 2, dla 60 stopni pierwiastek z 3 podzielony przez 2. Cosinus ma dokładnie te same wartości, tylko w odwrotnej kolejności: dla 30 stopni pierwiastek z 3 przez 2, dla 45 stopni pierwiastek z 2 przez 2, dla 60 stopni jedna druga. Tangens to dla 30 stopni pierwiastek z 3 podzielony przez 3, dla 45 stopni dokładnie 1, a dla 60 stopni pierwiastek z 3.

Jest w tym pewna elegancja, która bardzo ułatwia zapamiętywanie. Sinus rośnie od 30 do 60 stopni, a cosinus w tym samym zakresie maleje. Dla 45 stopni sinus i cosinus są równe, obie wartości to pierwiastek z 2 przez 2, w przybliżeniu 0,71. To nie przypadek: w trójkącie o kątach 45, 45 i 90 stopni obie przyprostokątne są równej długości.

Wartości dla 30 i 60 stopni najłatwiej wyprowadzić z trójkąta o kątach 30, 60 i 90 stopni, w którym boki pozostają w stałej proporcji. To dobry punkt zaczepienia, jeśli nie chce się uczyć tabeli na pamięć bez zrozumienia.

Dla pełnego obrazu dorzućmy kąty skrajne. Sinus 0 stopni to 0, a sinus 90 stopni to 1. Cosinus odwrotnie: cosinus 0 stopni to 1, a cosinus 90 stopni to 0. Tangens 0 stopni to 0, a tangensa 90 stopni się nie definiuje, bo musielibyśmy dzielić przez cosinus równy zero, a dzielenie przez zero nie ma sensu.

Jedynka trygonometryczna i związki między funkcjami

Jedynka trygonometryczna to tożsamość sin alfa do kwadratu plus cos alfa do kwadratu równa się 1, prawdziwa dla każdego kąta. To prawdopodobnie najważniejszy wzór w całej trygonometrii szkolnej i jednocześnie najczęściej używany.

Sprawdźmy go na naszym trójkącie 3, 4, 5. Sinus alfa to 0,6, więc jego kwadrat to 0,36. Cosinus alfa to 0,8, więc jego kwadrat to 0,64. Suma 0,36 i 0,64 daje dokładnie 1. Tożsamość działa, i to niezależnie od tego, jaki trójkąt weźmiemy.

Do czego to służy w praktyce. Najczęściej do sytuacji, w której znasz jedną funkcję i chcesz wyznaczyć drugą, nie znając kąta. Jeśli wiesz, że sinus pewnego kąta ostrego wynosi 0,6, to z jedynki trygonometrycznej cosinus tego kąta spełnia równanie: cosinus do kwadratu równa się 1 minus 0,36, czyli 0,64. Stąd cosinus to 0,8, bo dla kąta ostrego bierzemy wartość dodatnią. Kąt nie był potrzebny ani przez chwilę.

Drugi ważny związek już znamy: tangens to sinus przez cosinus. Cotangens jest jego odwrotnością, czyli cosinus przez sinus. Te dwie zależności plus jedynka trygonometryczna wystarczają do rozwiązania sporej części zadań z trygonometrii trójkąta prostokątnego, bez sięgania po bardziej rozbudowane wzory.

Gdzie stosuje się funkcje trygonometryczne

Trygonometria nie kończy się na trójkącie narysowanym w zeszycie. Funkcje trygonometryczne pozwalają obliczyć wysokość obiektu, do którego nie da się podejść, na przykład drzewa albo budynku. Wystarczy zmierzyć odległość od podstawy i kąt, pod jakim widać wierzchołek, a wysokość wyznacza tangens tego kąta pomnożony przez odległość.

Podobnie liczy się nachylenie: kąt podjazdu, dachu czy stoku. W geodezji i budownictwie to codzienne narzędzie, choć rzadko nazywane wprost trygonometrią. W fizyce sinus i cosinus rozkładają siły na składowe, opisują ruch po okręgu i drgania. Nawet fale dźwiękowe i prąd zmienny opisuje się wykresem sinusa.

Trygonometria wychodzi też poza trójkąt prostokątny. Dla dowolnego trójkąta, także rozwartokątnego, długości boków i kąty wiąże twierdzenie cosinusów, które można traktować jako uogólnienie twierdzenia Pitagorasa. To już materiał wykraczający poza podstawy, ale pokazuje, że funkcje trygonometryczne działają w każdym trójkącie, nie tylko w prostokątnym.

Dla kątów większych niż 90 stopni definicje z trójkąta przestają wystarczać, bo trójkąt prostokątny nie ma dwóch kątów rozwartych. Wtedy funkcje trygonometryczne definiuje się na okręgu jednostkowym, czyli okręgu o promieniu 1. To rozszerzenie pozwala mówić o sinusie i cosinusie dowolnego kąta, a także rysować ich wykresy, które mają charakterystyczny, falisty kształt. W podstawie szkolnej wystarczy jednak dobrze opanować trójkąt prostokątny, bo to on jest fundamentem reszty.

Najczęstsze błędy w funkcjach trygonometrycznych

Pierwszy i najczęstszy błąd to pomylenie przyprostokątnej naprzeciw kąta z przyprostokątną przy kącie. Skutek jest taki, że uczeń zamienia sinus z cosinusem i całe zadanie się sypie, mimo poprawnych rachunków. Dlatego opłaca się podpisać boki, zanim cokolwiek policzymy.

Drugi błąd to mylenie sin alfa do kwadratu z sinusem kwadratu kąta. Zapis sin alfa do kwadratu oznacza, że najpierw liczymy sinus, a potem podnosimy wynik do kwadratu. To nie to samo co sinus kąta alfa do kwadratu. W jedynce trygonometrycznej chodzi o kwadrat wartości funkcji, nie o kwadrat kąta.

Trzeci błąd dotyczy wartości specjalnych. Łatwo pomylić kolejność, bo sinus i cosinus mają te same liczby dla 30 i 60 stopni. Pomaga jedna zasada: sinus małego kąta jest mały. Sinus 30 stopni to jedna druga, czyli mniej niż sinus 60 stopni. Jeśli wynik temu przeczy, coś się przestawiło. Czwarty błąd to próba policzenia tangensa 90 stopni. On nie istnieje, bo cosinus tego kąta wynosi zero, a dzielenie przez zero jest niewykonalne.

Najczęściej zadawane pytania