Liczby pierwsze - definicja, lista do 100 i jak je rozpoznac

Liczby pierwsze to liczby naturalne większe od 1, które mają dokładnie dwa dzielniki naturalne: 1 i samą siebie. Przykłady to 2, 3, 5 i 7. Ich przeciwieństwem są liczby złożone, czyli takie, które oprócz 1 i samej siebie mają jeszcze inne dzielniki. Liczba 1 nie jest ani pierwsza, ani złożona, podobnie jak 0.

Co to jest liczba pierwsza

Liczba pierwsza musi spełniać dwa warunki naraz: być liczbą naturalną większą od 1 i mieć dokładnie dwa dzielniki naturalne. Te dzielniki to zawsze 1 oraz sama ta liczba. Jeżeli liczba ma choć jeden dodatkowy dzielnik, przestaje być pierwsza.

Najprostszy przykład to 7. Liczba 7 dzieli się przez 1 i przez 7. Nie dzieli się przez 2, 3, 4, 5 ani 6, więc ma dokładnie dwa dzielniki naturalne. Dlatego 7 jest liczbą pierwszą.

Ważne jest słowo "dokładnie". Nie wystarczy, że liczba dzieli się przez 1 i samą siebie, bo każda liczba naturalna większa od 0 ma takie dzielniki. Liczba pierwsza nie może mieć żadnego trzeciego dzielnika. Dlatego 9 nie jest pierwsza, bo dzieli się przez 1, 3 i 9.

Częsty błąd dotyczy liczby 1. Liczba 1 nie jest liczbą pierwszą, ponieważ ma tylko jeden dzielnik naturalny: samą siebie. Nie spełnia definicji, która wymaga dokładnie dwóch dzielników. Liczba 0 również nie jest pierwsza. Ani 0, ani 1 nie są też liczbami złożonymi, bo liczby złożone także muszą być większe od 1.

Liczby pierwsze a liczby złożone

Liczba złożona to liczba naturalna większa od 1, która ma więcej niż dwa dzielniki naturalne. Oprócz 1 i samej siebie ma co najmniej jeden dodatkowy dzielnik. Przykład: 12 dzieli się przez 1, 2, 3, 4, 6 i 12, więc jest liczbą złożoną.

Podział jest prosty, ale bardzo ważny: każda liczba naturalna większa od 1 jest albo pierwsza, albo złożona. Nie ma trzeciej możliwości. Liczba 13 jest pierwsza, bo dzieli się tylko przez 1 i 13. Liczba 14 jest złożona, bo dzieli się przez 1, 2, 7 i 14.

Szczególne miejsce zajmuje liczba 2. Liczba 2 to jedyna parzysta liczba pierwsza. Jest parzysta, ale ma tylko dwa dzielniki: 1 i 2. Wszystkie pozostałe liczby parzyste są złożone, ponieważ dzielą się przez 2 oraz mają jeszcze dzielnik 1 i samą siebie. Na przykład 18 dzieli się przez 1, 2, 3, 6, 9 i 18.

To rozróżnienie przydaje się później przy rozkładzie na czynniki pierwsze, skracaniu ułamków i liczeniu NWD oraz NWW. W praktyce szkolnej liczby pierwsze często pojawiają się razem z działaniami na ułamkach, bo skracanie ułamka wymaga znalezienia wspólnych czynników licznika i mianownika. Dobrze widać wtedy, że liczby pierwsze działają jak najmniejsze składniki liczb złożonych.

Lista liczb pierwszych do 100

Do 100 jest dokładnie 25 liczb pierwszych. Warto znać tę listę, bo ułatwia sprawdzanie podzielności, rozkład na czynniki pierwsze i szybkie rozwiązywanie wielu zadań z arytmetyki.

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.

Lista zaczyna się od 2, czyli jedynej parzystej liczby pierwszej. Potem występują już tylko liczby nieparzyste, ale nie każda liczba nieparzysta jest pierwsza. Liczba 9 jest nieparzysta, ale dzieli się przez 3. Liczba 15 jest nieparzysta, ale dzieli się przez 3 i 5. Liczba 21 jest nieparzysta, ale dzieli się przez 3 i 7.

Sama nieparzystość pozwala więc tylko odrzucić część liczb, a nie potwierdzić pierwszość. Liczba 97 znajduje się na liście, ponieważ nie ma żadnego dzielnika pierwszego mniejszego lub równego pierwiastkowi z 97. Liczba 91 na pierwszy rzut oka może wyglądać podobnie, ale nie ma jej na liście, ponieważ 91 = 7 * 13.

Sito Eratostenesa - jak znaleźć liczby pierwsze

Sito Eratostenesa to klasyczna metoda wyszukiwania liczb pierwszych w podanym zakresie. Opracował ją grecki uczony Eratostenes ponad 2200 lat temu. Metoda jest prosta: zamiast sprawdzać każdą liczbę osobno, stopniowo skreśla się wielokrotności kolejnych liczb pierwszych.

Najpierw wypisuje się liczby od 2 do wybranej granicy, na przykład do 100. Liczbę 2 zostawia się jako pierwszą, a następnie skreśla jej wielokrotności: 4, 6, 8, 10 i kolejne liczby parzyste. Następna nieskreślona liczba to 3, więc zostawia się 3 i skreśla jej wielokrotności, czyli 6, 9, 12, 15 i dalsze. Część z nich mogła być już skreślona wcześniej, co nie przeszkadza.

Potem przechodzi się do następnej nieskreślonej liczby. Jeśli jest nią 5, zostawia się 5 i skreśla wielokrotności 5: 10, 15, 20, 25 i tak dalej. Następnie robi się to samo dla 7. Liczby, które na końcu zostają nieskreślone, są liczbami pierwszymi.

Ważna jest granica sprawdzania. W sicie Eratostenesa wystarczy skreślać wielokrotności liczb do pierwiastka z n. Jeżeli szuka się liczb pierwszych do 100, wystarczy przejść przez liczby do 10, bo pierwiastek ze 100 to 10. Po obsłużeniu 2, 3, 5 i 7 wszystkie złożone liczby do 100 będą już miały skreślony co najmniej jeden czynnik.

Ta metoda dobrze pokazuje, dlaczego liczby pierwsze są podstawą arytmetyki. Złożone liczby znikają, bo są wielokrotnościami mniejszych liczb pierwszych. To samo myślenie przydaje się podczas rozwiązywania zadań, w których trzeba pilnować kolejności mnożenia i dzielenia zgodnie z kolejnością wykonywania działań.

Jak sprawdzić, czy liczba jest pierwsza

Aby sprawdzić, czy liczba jest pierwsza, wystarczy przetestować dzielniki od 2 do pierwiastka z tej liczby. W praktyce nie trzeba dzielić przez wszystkie mniejsze liczby. Jeśli liczba złożona ma dzielnik większy od swojego pierwiastka, to musi mieć też drugi dzielnik mniejszy od pierwiastka.

Najlepiej sprawdzać tylko dzielniki pierwsze z tego zakresu. Dla małych liczb zwykle wystarczają 2, 3, 5 i 7. Jeżeli żadna z tych liczb nie dzieli sprawdzanej liczby, a granica pierwiastka nie wymaga dalszych testów, liczba jest pierwsza.

Przykład: czy 97 jest pierwsza? Pierwiastek z 97 to około 9,8, więc wystarczy sprawdzić dzielniki pierwsze 2, 3, 5 i 7. Liczba 97 nie dzieli się przez 2, bo jest nieparzysta. Nie dzieli się przez 3, bo suma cyfr wynosi 16, a 16 nie jest podzielne przez 3. Nie dzieli się przez 5, bo nie kończy się na 0 ani 5. Dzielenie 97 przez 7 nie daje liczby całkowitej. Zatem 97 jest pierwsza.

Drugi przykład pokazuje typową pułapkę. Liczba 91 wygląda jak kandydatka na pierwszą, bo nie jest parzysta, nie kończy się na 0 ani 5, a suma jej cyfr to 10. Jednak 91 = 7 * 13, więc 91 jest liczbą złożoną. Właśnie dlatego nie warto zgadywać po wyglądzie liczby.

Szybkie cechy podzielności pomagają odrzucać liczby złożone. Liczba dzieli się przez 2, gdy kończy się cyfrą parzystą. Dzieli się przez 3, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3. Dzieli się przez 5, gdy kończy się na 0 lub 5. Jeżeli liczba większa od 2, 3 albo 5 spełnia odpowiednią cechę, nie jest pierwsza.

Najczęstsze błędy przy liczbach pierwszych

Najczęstszy błąd polega na myleniu warunku koniecznego z wystarczającym. To, że liczba jest nieparzysta, nie oznacza jeszcze, że jest pierwsza. Nieparzystość mówi tylko, że liczba nie dzieli się przez 2. Trzeba jeszcze sprawdzić inne możliwe dzielniki.

Drugi błąd to uznawanie 1 za liczbę pierwszą. Definicja wymaga dokładnie dwóch dzielników naturalnych, a 1 ma tylko jeden. Gdyby 1 traktować jako liczbę pierwszą, rozkład na czynniki pierwsze przestałby być jednoznaczny, bo można byłoby dopisywać dowolną liczbę jedynek.

Trzeci błąd pojawia się przy sprawdzaniu dużych liczb. Uczeń próbuje dzielić liczbę przez wszystkie mniejsze wartości, choć wystarczy dojść do pierwiastka. Dla 97 nie trzeba sprawdzać dzielników 11, 13, 17 czy 19, bo są większe niż pierwiastek z 97. Jeżeli do tej granicy nie znaleziono dzielnika, dalsze sprawdzanie niczego nie zmieni.

Czwarty błąd dotyczy liczb 0 i 1. Nie są pierwsze, ale nie są też złożone. Liczba złożona musi być liczbą naturalną większą od 1 i mieć więcej niż dwa dzielniki. Zero i jeden nie mieszczą się w tym podziale.

Rozkład na czynniki pierwsze

Rozkład na czynniki pierwsze polega na zapisaniu liczby jako iloczynu liczb pierwszych. Zgodnie z podstawowym twierdzeniem arytmetyki każdą liczbę naturalną większą od 1 można zapisać jako iloczyn liczb pierwszych i taki zapis jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników.

Przykład: 60 = 2 * 2 * 3 * 5, czyli 2^2 * 3 * 5. Metoda polega na dzieleniu przez najmniejsze możliwe liczby pierwsze. Najpierw 60:2=30, potem 30:2=15, następnie 15:3=5, a na końcu 5:5=1. Gdy wynik dzielenia dochodzi do 1, rozkład jest zakończony.

Ten zapis wyjaśnia, dlaczego liczby pierwsze nazywa się czasem cegiełkami liczb naturalnych. Liczba 60 nie jest pierwsza, ale składa się z liczb pierwszych 2, 2, 3 i 5. Liczba 84 składałaby się z innych czynników pierwszych, ale zasada pozostaje ta sama: rozkład prowadzi do elementów, których nie da się już rozbić na mniejsze czynniki naturalne większe od 1.

Rozkład na czynniki pierwsze pomaga przy skracaniu ułamków, wyznaczaniu największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności. Jeżeli dwie liczby mają wspólne czynniki pierwsze, można je porównać i uprościć obliczenia. Zamiast działać na dużych liczbach naraz, rozkłada się je na mniejsze, łatwiejsze elementy.

Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele, co udowodnił już Euklides. Istnieją też liczby bliźniacze, czyli pary liczb pierwszych różniących się o 2, na przykład 11 i 13 oraz 17 i 19. Współcześnie liczby pierwsze mają znaczenie nie tylko szkolne: są podstawą kryptografii, między innymi dlatego, że rozkład bardzo dużych liczb na czynniki pierwsze może być trudny obliczeniowo.

Najczęściej zadawane pytania