Metoda przeciwnych współczynników - jak rozwiązać układ równań

Metoda przeciwnych współczynników polega na takim przygotowaniu układu równań, aby współczynniki przy jednej niewiadomej były liczbami przeciwnymi. Po dodaniu równań stronami ta niewiadoma się znosi, więc zostaje jedno równanie z jedną niewiadomą. Dzięki temu można krok po kroku obliczyć najpierw jedną wartość, potem drugą i sprawdzić, czy para liczb spełnia oba równania.

Co to jest układ równań

Układ równań to zestaw co najmniej dwóch równań, które rozwiązuje się jednocześnie. W szkolnych zadaniach najczęściej pojawia się układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, na przykład x i y. Nie szuka się wtedy osobnego rozwiązania dla każdego równania, tylko jednej pary liczb, która pasuje do obu równań naraz.

Rozwiązaniem układu jest para uporządkowana, zwykle zapisywana jako (x, y). Jeśli rozwiązaniem jest (7, 3), oznacza to, że w miejsce x podstawia się 7, a w miejsce y podstawia się 3. Taka para musi po podstawieniu dawać prawdziwe równości w pierwszym i drugim równaniu.

To ważne, bo pojedyncze równanie z dwiema niewiadomymi ma zwykle wiele możliwych par. Dopiero drugie równanie ogranicza wybór i pozwala znaleźć jedną konkretną parę. Metoda przeciwnych współczynników jest jednym ze sposobów, aby tę parę obliczyć bez zgadywania.

Na czym polega metoda przeciwnych współczynników

W metodzie przeciwnych współczynników doprowadza się do sytuacji, w której przy x albo przy y stoją liczby przeciwne. Liczby przeciwne mają tę samą wartość bezwzględną, ale różne znaki, na przykład +3 i -3 albo -5 i +5. Po dodaniu takich wyrazów wynik wynosi 0.

Jeśli w układzie występuje y i -y, można dodać równania stronami, a niewiadoma y zniknie. Jeśli przy niewiadomej nie ma jeszcze przeciwnych współczynników, jedno równanie albo oba równania mnoży się przez odpowiednio dobrane liczby. Celem nie jest zmiana rozwiązania układu, tylko przygotowanie równań do wygodnego dodania.

Najprostszy schemat wygląda tak:

1. wybiera się niewiadomą, która ma się zredukować, 2. doprowadza się przy niej do przeciwnych współczynników, 3. dodaje się równania stronami, 4. rozwiązuje się powstałe równanie z jedną niewiadomą, 5. podstawia się wynik do jednego z początkowych równań i oblicza drugą niewiadomą.

Po wykonaniu tych działań zostaje jeszcze sprawdzenie. Nie jest dodatkiem dla porządku, tylko częścią rozwiązania, bo łatwo pomylić znak przy odejmowaniu albo dodać tylko lewą stronę równań, a zapomnieć o prawej.

Rozwiązywanie krok po kroku (przykład)

Pierwszy przykład pokazuje układ równań, w którym przeciwne współczynniki są widoczne od razu:

x + y = 10

x - y = 4

Współczynniki przy y to +1 i -1. Są przeciwne, więc nie trzeba niczego mnożyć. Można dodać równania stronami. Po lewej stronie x + x daje 2x, a y + (-y) daje 0. Po prawej stronie trzeba dodać 10 i 4.

Otrzymuje się:

2x = 14

x = 7

Teraz trzeba obliczyć y. Najwygodniej podstawić x = 7 do prostszego równania, na przykład do x + y = 10. Wtedy:

7 + y = 10

y = 3

Rozwiązaniem układu jest para (7, 3). Oznacza to, że x = 7 oraz y = 3. Na końcu należy sprawdzić obie równości. W pierwszym równaniu 7 + 3 = 10, więc wszystko się zgadza. W drugim równaniu 7 - 3 = 4, więc ta sama para spełnia także drugie równanie.

Drugi przykład jest trochę ważniejszy, bo pokazuje, kiedy trzeba najpierw pomnożyć równanie. Dany jest układ:

2x + 3y = 12

x - y = 1

W pierwszym równaniu przy y stoi +3, a w drugim przy y stoi -1. Te współczynniki nie są jeszcze przeciwne. Żeby otrzymać -3y w drugim równaniu, mnoży się całe drugie równanie przez 3.

Z równania x - y = 1 powstaje:

3x - 3y = 3

Teraz można dodać je do pierwszego równania 2x + 3y = 12. Wyrazy 3y i -3y się znoszą. Po lewej stronie zostaje 2x + 3x, a po prawej 12 + 3.

Otrzymuje się:

5x = 15

x = 3

Następnie podstawia się x = 3 do prostszego równania x - y = 1. Wtedy:

3 - y = 1

-y = -2

y = 2

Rozwiązaniem jest para (3, 2). Sprawdzenie potwierdza wynik: 2*3 + 3*2 = 6 + 6 = 12, więc pierwsze równanie jest spełnione. W drugim równaniu 3 - 2 = 1, więc druga równość też jest prawdziwa.

Najczęstsze błędy i wskazówki

Najczęstszy błąd w tej metodzie polega na dodaniu tylko części równania. Dodaje się całe strony: wszystkie wyrazy po lewej stronie oraz całe prawe strony. Jeśli po prawej stronie stoją liczby 12 i 3, to po dodaniu musi pojawić się 15.

Drugi problem to znaki. Przy równaniu x - y = 1 łatwo zapomnieć, że współczynnik przy y wynosi -1. Po pomnożeniu całego równania przez 3 powstaje 3x - 3y = 3, a nie 3x - y = 3. Mnożyć trzeba każdy składnik po obu stronach równania.

W praktyce warto pilnować czterech zasad:

• przeciwne współczynniki muszą stać przy tej samej niewiadomej,
• po dodaniu równań trzeba dodać także prawe strony,
• po obliczeniu jednej niewiadomej najlepiej podstawić ją do prostszego równania,
• wynik zawsze sprawdza się przez podstawienie do obu równań.

Jeśli współczynniki trudno dopasować, można wybrać drugą niewiadomą. Czasem łatwiej zredukować x, a czasem y. Nie ma jednej obowiązkowej drogi, ale obliczenia muszą prowadzić do tej samej pary liczb. Alternatywą jest metoda podstawiania, w której z jednego równania wyznacza się jedną niewiadomą i podstawia ją do drugiego równania.

Najczęściej zadawane pytania