Prawdopodobieństwo - wzór, definicja i przykłady

Prawdopodobieństwo to liczba od 0 do 1, która mówi, jak duża jest szansa, że zajdzie dane zdarzenie, a w prostych przypadkach oblicza się je ze wzoru: liczba zdarzeń sprzyjających podzielona przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. Zdarzenie pewne ma prawdopodobieństwo 1, zdarzenie niemożliwe 0, a wszystko pomiędzy opisuje ułamek. To narzędzie, które zamienia intuicyjne słowa jak raczej tak albo mało prawdopodobne na konkretną liczbę.

Najłatwiej zrozumieć je na klasykach: rzucie monetą, rzucie kostką i losowaniu kart. Na tych przykładach widać, skąd biorą się liczby w liczniku i mianowniku.

Co to jest prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo opisuje szansę wystąpienia danego wyniku w doświadczeniu losowym. Doświadczenie losowe to takie, którego wyniku nie da się z góry przewidzieć, na przykład rzut monetą albo kostką. Każdy możliwy wynik takiego doświadczenia to zdarzenie elementarne.

Zbiór wszystkich możliwych wyników nazywa się przestrzenią zdarzeń. Przy rzucie monetą przestrzeń zdarzeń ma dwa elementy: orzeł i reszka. Przy rzucie sześcienną kostką ma sześć elementów, od jednego do sześciu oczek. Znajomość wszystkich możliwych wyników to punkt wyjścia do liczenia prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo zawsze mieści się w przedziale od 0 do 1. Wartość 0 oznacza zdarzenie niemożliwe, którego na pewno nie będzie. Wartość 1 oznacza zdarzenie pewne, które na pewno zajdzie. Im bliżej jedynki, tym większa szansa, a im bliżej zera, tym mniejsza.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa i wzór

Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo zdarzenia równa się liczbie zdarzeń sprzyjających podzielonej przez liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. Ten wzór działa wtedy, gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe, na przykład na uczciwej kostce albo monecie.

Zdarzenia sprzyjające to te wyniki, które nas interesują. Jeśli pytamy o wyrzucenie szóstki na kostce, sprzyja nam tylko jeden wynik, bo szóstka jest jedna. Wszystkich możliwych wyników jest sześć. Dlatego prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki to 1 podzielone przez 6, czyli jedna szósta.

Wynik można zapisać na kilka sposobów, które znaczą to samo. Jedna szósta to ułamek, w przybliżeniu 0,17, czyli około 17 procent. Prawdopodobieństwo jest po prostu ułamkiem, dlatego warto swobodnie zamieniać takie zapisy, tak jak przy zwykłych działaniach na ułamkach. Ta sama liczba może wystąpić jako ułamek zwykły, dziesiętny albo procent.

Przykłady obliczania prawdopodobieństwa

Zacznijmy od monety. Przy rzucie monetą możliwe są dwa wyniki: orzeł i reszka. Interesuje nas wyrzucenie orła, więc sprzyja nam jeden wynik na dwa możliwe. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła to 1 podzielone przez 2, czyli jedna druga, a więc 50 procent. To najprostszy możliwy przykład.

Kostka daje więcej możliwości. Prawdopodobieństwo wyrzucenia konkretnej liczby oczek, na przykład czwórki, to 1 podzielone przez 6. Ale można pytać o zdarzenia bardziej złożone. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia liczby parzystej? Liczby parzyste na kostce to 2, 4 i 6, więc sprzyjają nam trzy wyniki na sześć. Prawdopodobieństwo to 3 podzielone przez 6, czyli jedna druga.

Trzeci przykład to talia kart. W standardowej talii jest 52 karty, a asów są cztery. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania asa? Sprzyjają nam cztery wyniki na 52 możliwe, więc prawdopodobieństwo to 4 podzielone przez 52, co po skróceniu daje 1 podzielone przez 13. Widać tu, że wynik warto uprościć do najprostszej postaci ułamka.

We wszystkich tych przykładach postępujemy tak samo. Najpierw liczymy wszystkie możliwe wyniki, potem wyniki sprzyjające, a na końcu dzielimy jedno przez drugie. Ta prosta procedura wystarcza do rozwiązania większości szkolnych zadań z prawdopodobieństwa.

Zdarzenie pewne, niemożliwe i przeciwne

Niektóre zdarzenia mają skrajne prawdopodobieństwo. Zdarzenie pewne to takie, które na pewno zajdzie, więc jego prawdopodobieństwo wynosi 1. Przy rzucie kostką pewne jest wyrzucenie liczby od 1 do 6, bo innych wyników nie ma. Wszystkie sześć wyników sprzyja temu zdarzeniu.

Zdarzenie niemożliwe to takie, które nie może zajść, więc jego prawdopodobieństwo wynosi 0. Wyrzucenie siedmiu oczek na zwykłej sześciennej kostce jest niemożliwe, bo taki wynik nie istnieje. Zero wyników sprzyja temu zdarzeniu, dlatego prawdopodobieństwo to zero.

Przydatne jest też pojęcie zdarzenia przeciwnego. Jeśli znamy prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia, to prawdopodobieństwo, że ono nie zajdzie, wynosi 1 minus ta wartość. Skoro prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki to jedna szósta, to prawdopodobieństwo nie wyrzucenia szóstki wynosi 1 minus jedna szósta, czyli pięć szóstych. Ta zależność często skraca obliczenia.

Najczęstsze błędy w prawdopodobieństwie

Pierwszy błąd to złe policzenie wszystkich możliwych wyników. Zanim policzymy prawdopodobieństwo, trzeba dokładnie ustalić przestrzeń zdarzeń. Pomyłka w mianowniku, czyli w liczbie wszystkich wyników, psuje cały wynik.

Drugi błąd to mylenie zdarzeń sprzyjających ze wszystkimi. W liczniku wpisujemy tylko te wyniki, które nas interesują, a w mianowniku wszystkie możliwe. Zamiana tych liczb daje odwrotny, błędny wynik. Trzeci błąd to podawanie prawdopodobieństwa większego niż 1. To niemożliwe, bo maksymalna wartość to 1, czyli zdarzenie pewne. Wynik większy od jedności zawsze oznacza pomyłkę.

Czwarty błąd to zapominanie o skracaniu ułamka. Prawdopodobieństwo 4 podzielone przez 52 jest poprawne, ale wygodniej zapisać je jako 1 podzielone przez 13. Uproszczony ułamek łatwiej porównać z innymi i mniej w nim miejsca na pomyłkę.

Najczęściej zadawane pytania