Schemat Hornera - jak działa, przykład krok po kroku i zastosowania

Schemat Hornera to szybki sposób na podzielenie wielomianu przez dwumian (x − c), obliczenie wartości wielomianu dla danej liczby oraz sprawdzenie, czy ta liczba jest jego pierwiastkiem. Zamiast długiego dzielenia pisemnego wykonujesz proste mnożenia i dodawania w jednej tabelce. To jedna z najwygodniejszych metod przy wielomianach.

Poniżej pokazuję, jak działa schemat Hornera, rozpisuję przykład krok po kroku, wyjaśniam jak odczytać iloraz i resztę oraz jak użyć metody do szukania pierwiastków wielomianu.

Co to jest schemat Hornera

Schemat Hornera to algorytm, który oblicza wartość wielomianu przy użyciu najmniejszej możliwej liczby mnożeń, a przy okazji dzieli wielomian przez dwumian liniowy. Opiera się na przekształceniu wielomianu do postaci zagnieżdżonej, w której mnożenie i dodawanie powtarzają się naprzemiennie.

Dla wielomianu 2x³ − 6x² + 2x − 1 zapis zagnieżdżony wygląda tak: ((2x − 6)x + 2)x − 1. Zamiast liczyć każdą potęgę osobno, mnożysz dotychczasowy wynik przez x i dodajesz kolejny współczynnik. Właśnie ten schemat zapisujemy w wygodnej tabelce.

Jak zrobić schemat Hornera krok po kroku

Podzielmy wielomian 2x³ − 6x² + 2x − 1 przez dwumian (x − 3), czyli przyjmijmy c = 3. Cała procedura sprowadza się do kilku powtarzalnych kroków.

• Krok 1. Wypisz współczynniki w kolejności malejących potęg: 2, −6, 2, −1. Jeśli jakiejś potęgi brakuje, wstaw w jej miejsce 0.
• Krok 2. Pierwszy współczynnik przepisz bez zmian do dolnego wiersza: 2.
• Krok 3. Pomnóż go przez c i dodaj następny współczynnik: 2 · 3 + (−6) = 0.
• Krok 4. Powtarzaj dla kolejnych liczb: 0 · 3 + 2 = 2, a potem 2 · 3 + (−1) = 5.

W dolnym wierszu otrzymujesz kolejno liczby 2, 0, 2 oraz 5. Każda z nich powstaje według tej samej zasady: poprzedni wynik mnożysz przez c i dodajesz współczynnik stojący nad spodziewaną pozycją.

Jak odczytać iloraz i resztę

Ostatnia liczba w dolnym wierszu to reszta z dzielenia, a pozostałe to współczynniki ilorazu. W naszym przykładzie reszta wynosi 5, a iloraz tworzą liczby 2, 0, 2, czyli wielomian 2x² + 0x + 2, w skrócie 2x² + 2.

Cały wynik zapisujemy więc tak: 2x³ − 6x² + 2x − 1 = (x − 3)(2x² + 2) + 5. Co ważne, reszta jest równa wartości wielomianu dla x = 3, czyli W(3) = 5. Tę zależność opisuje twierdzenie Bézouta: reszta z dzielenia wielomianu przez (x − c) zawsze równa się W(c).

Schemat Hornera do sprawdzania pierwiastków

Jeśli w schemacie Hornera reszta wyjdzie zero, to liczba c jest pierwiastkiem wielomianu. To najszybszy sposób, by sprawdzić, czy dana wartość zeruje wielomian, i od razu rozłożyć go na czynniki.

Weźmy wielomian x³ − 2x² − 5x + 6 i sprawdźmy c = 1. Współczynniki to 1, −2, −5, 6. Liczymy: przepisujemy 1, potem 1 · 1 + (−2) = −1, dalej −1 · 1 + (−5) = −6, na końcu −6 · 1 + 6 = 0. Reszta wynosi 0, więc 1 jest pierwiastkiem. Iloraz to x² − x − 6, który rozkłada się na (x − 3)(x + 2). Stąd pozostałe pierwiastki to 3 oraz −2.

Po co używać schematu Hornera

Schemat Hornera jest szybszy i mniej podatny na błędy niż dzielenie pisemne wielomianów. Wymaga tylko mnożenia i dodawania, mieści się w jednej tabelce i nie trzeba w nim wielokrotnie przepisywać całych wyrażeń.

To dlatego metoda jest tak ceniona na maturze i w zadaniach z wielomianów. Przydaje się wszędzie tam, gdzie trzeba szybko policzyć wartość wielomianu, podzielić go przez (x − c) albo znaleźć pierwiastki wymierne i rozłożyć wielomian na czynniki.

Najczęstsze błędy w schemacie Hornera

Większość pomyłek wynika z brakujących współczynników i ze znaku liczby c. Warto pilnować trzech rzeczy:

• Pominięcie zera. Gdy w wielomianie brakuje jakiejś potęgi, na przykład x², w tym miejscu trzeba wpisać współczynnik 0. Bez tego cała tabela się przesunie.
• Zły znak c. Dla dwumianu (x − 3) bierzemy c = 3, ale dla (x + 3) liczbą zerującą jest c = −3. To częste źródło błędu.
• Zła kolejność współczynników. Wielomian trzeba najpierw uporządkować malejąco według potęg, inaczej wynik nie ma sensu.

Często zadawane pytania

Co to jest schemat Hornera?
To algorytm, który pozwala szybko obliczyć wartość wielomianu, podzielić go przez dwumian (x − c) oraz sprawdzić, czy dana liczba jest pierwiastkiem. Wszystko mieści się w jednej tabelce.

Jak obliczyć c w schemacie Hornera?
c to liczba, która zeruje dwumian. Dla (x − 3) jest to c = 3, a dla (x + 3) jest to c = −3. Zawsze bierzemy wartość, dla której dwumian równa się zero.

Co oznacza reszta w schemacie Hornera?
Ostatnia liczba w dolnym wierszu to reszta z dzielenia. Jest ona równa wartości wielomianu dla danego c, czyli W(c). Jeśli reszta wynosi 0, liczba c jest pierwiastkiem.

Jak odczytać iloraz?
Iloraz tworzą wszystkie liczby z dolnego wiersza oprócz ostatniej. Są to współczynniki wielomianu o stopień niższego niż wielomian dzielony.

Czy schemat Hornera działa dla brakujących potęg?
Tak, ale w miejsce brakującej potęgi trzeba wpisać współczynnik 0. Pominięcie zera przesuwa całą tabelę i prowadzi do błędnego wyniku.

Do czego służy schemat Hornera na maturze?
Najczęściej do dzielenia wielomianów, szybkiego obliczania ich wartości oraz znajdowania pierwiastków wymiernych, co pozwala rozłożyć wielomian na czynniki.

Jeśli uczysz się wielomianów, sprawdź też powiązane tematy: co to jest iloczyn, pierwiastek z 2 oraz liczby wymierne.

Źródła:
[1] Wikipedia, hasło „Schemat Hornera", pl.wikipedia.org
[2] Zintegrowana Platforma Edukacyjna MEN, materiały o schemacie Hornera, zpe.gov.pl