Skracanie ułamków - jak skracać i rozszerzać ułamki

Skracanie ułamków polega na podzieleniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę, większą od 1. Wartość ułamka się nie zmienia, zmienia się tylko jego zapis. Dzięki temu zamiast ułamka 6/8 można zapisać 3/4, a zamiast 12/18 można zapisać 2/3.

Ta zasada jest jedną z podstaw pracy z ułamkami zwykłymi. Przydaje się nie tylko wtedy, gdy trzeba uprościć wynik, ale też przy porównywaniu ułamków, mnożeniu ułamków, dzieleniu ułamków oraz sprawdzaniu, czy odpowiedź ma najprostszą możliwą postać. Skracanie i rozszerzanie ułamków są działaniami odwrotnymi, dlatego warto rozumieć je razem.

Na czym polega skracanie ułamków

Skracanie ułamków polega na tym, że licznik i mianownik dzieli się przez wspólny dzielnik. Licznik znajduje się nad kreską ułamkową, mianownik pod kreską, a dzielenie obu części przez tę samą liczbę zachowuje wartość całego ułamka.

Dla przykładu ułamek 6/8 można skrócić przez 2. Licznik 6 podzielony przez 2 daje 3, a mianownik 8 podzielony przez 2 daje 4. Otrzymuje się więc 6/8 = 3/4. To nadal ta sama część całości, tylko zapisana prościej.

Podobnie działa ułamek 12/18. Liczby 12 i 18 można podzielić przez 6. Po wykonaniu dzielenia licznik wynosi 2, a mianownik 3, więc 12/18 = 2/3. W praktyce oznacza to, że zamiast większych liczb w ułamku zostają mniejsze, łatwiejsze do dalszych obliczeń.

Najważniejsza zasada brzmi: nie wolno skracać tylko licznika albo tylko mianownika. Jeżeli zmieni się tylko jedna część ułamka, zmieni się jego wartość. Ułamek 6/8 skrócony poprawnie daje 3/4, ale zapis 3/8 nie jest skróceniem, tylko innym ułamkiem.

Skracanie często wykonuje się etapami. Ułamek 24/36 można najpierw podzielić przez 2 i otrzymać 12/18, a potem podzielić przez 6 i otrzymać 2/3. Wynik jest poprawny, ale można też od razu podzielić 24 i 36 przez 12. Wtedy 24/36 = 2/3 w jednym kroku.

Postać nieskracalna i największy wspólny dzielnik

Postać nieskracalna to taki zapis ułamka, w którym licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika większego od 1. Innymi słowy, ułamka nie da się już skrócić bez zmiany jego wartości.

Ułamek 3/4 jest nieskracalny, bo liczby 3 i 4 nie dzielą się przez tę samą liczbę większą od 1. Ułamek 8/12 nie jest nieskracalny, bo 8 i 12 można podzielić przez 4. Po skróceniu otrzymuje się 2/3, a liczby 2 i 3 nie mają już wspólnego dzielnika większego od 1.

Najwygodniejszą metodą jest skracanie przez największy wspólny dzielnik, czyli NWD. To największa liczba, przez którą dzieli się jednocześnie licznik i mianownik. Dla liczb 18 i 24 największym wspólnym dzielnikiem jest 6, ponieważ 18 : 6 = 3 i 24 : 6 = 4. Dlatego 18/24 = 3/4.

Można zapamiętać prosty sposób pracy:

• znaleźć liczbę, przez którą dzieli się licznik i mianownik,
• podzielić obie części ułamka przez tę samą liczbę,
• sprawdzić, czy nowy licznik i mianownik da się jeszcze skrócić.

Jeżeli od razu widać NWD, warto użyć go od razu. Jeżeli nie, można skracać stopniowo przez 2, 3, 5 albo inną wspólną liczbę. Przy mniejszych ułamkach oba sposoby są dobre, o ile końcowy wynik jest w postaci nieskracalnej.

Rozszerzanie ułamków

Rozszerzanie ułamków polega na pomnożeniu licznika i mianownika przez tę samą liczbę. Tak jak przy skracaniu, wartość ułamka się nie zmienia, ponieważ zmienia się tylko jego zapis.

Przykładowo 1/2 można rozszerzyć przez 2. Licznik 1 * 2 daje 2, a mianownik 2 * 2 daje 4, więc 1/2 = 2/4. Ten sam ułamek można rozszerzyć przez 3: licznik 1 * 3 daje 3, mianownik 2 * 3 daje 6, dlatego 1/2 = 3/6.

Widać tu ważną zależność: 1/2, 2/4 i 3/6 oznaczają tę samą wartość. Różnią się tylko zapisem. Gdy taki ułamek skróci się z powrotem, 2/4 przez 2 daje 1/2, a 3/6 przez 3 też daje 1/2.

Rozszerzanie jest szczególnie przydatne przy sprowadzaniu ułamków do wspólnego mianownika. Bez tego trudno wygodnie wykonać dodawanie ułamków i odejmowanie ułamków. Aby dodać 1/2 i 1/4, najpierw rozszerza się 1/2 do 2/4. Dopiero wtedy można zapisać 2/4 + 1/4 = 3/4.

Podobnie przy odejmowaniu: 3/4 - 1/2 wymaga wspólnego mianownika. Ułamek 1/2 rozszerza się do 2/4, więc 3/4 - 2/4 = 1/4. Rozszerzanie nie komplikuje więc obliczeń, tylko przygotowuje ułamki do wspólnego zapisu.

Do czego przydaje się skracanie

Skracanie ułamków przydaje się przede wszystkim do upraszczania wyników. W matematyce często nie wystarczy otrzymać jakikolwiek poprawny ułamek. Zwykle wynik powinien być zapisany najprościej, czyli w postaci nieskracalnej.

Po dodawaniu ułamków może powstać wynik, który da się skrócić. Na przykład 1/6 + 1/6 = 2/6, a 2/6 po skróceniu przez 2 daje 1/3. Bez skrócenia wynik 2/6 jest równoważny, ale mniej przejrzysty.

Skracanie pomaga też przy mnożeniu ułamków. Jeżeli mnoży się 2/3 * 3/5, wynik przed skróceniem to 6/15. Liczby 6 i 15 można podzielić przez 3, więc 6/15 = 2/5. Czasem da się skracać jeszcze przed mnożeniem, ale podstawowa zasada pozostaje taka sama: wspólny czynnik w liczniku i mianowniku można usunąć przez dzielenie.

Przy dzieleniu ułamków wynik również często wymaga uproszczenia. Jeśli po obliczeniu pojawia się 10/20, należy zauważyć, że licznik i mianownik dzielą się przez 10. Ostatecznie 10/20 = 1/2.

Skracanie ułatwia również porównywanie ułamków. Ułamek 12/16 wygląda inaczej niż 3/4, ale po skróceniu przez 4 okazuje się, że są równe. Dzięki temu łatwiej ocenić, czy dwa zapisy oznaczają tę samą część całości.

W praktyce warto po każdym działaniu na ułamkach zadać sobie jedno pytanie: czy licznik i mianownik mają jeszcze wspólny dzielnik większy od 1? Jeżeli tak, wynik trzeba skrócić. Jeżeli nie, ułamek jest już w postaci nieskracalnej.

Najczęściej zadawane pytania