Suma ciągu arytmetycznego - wzór i przykłady krok po kroku

Suma ciągu arytmetycznego liczy się ze wzoru Sn = (a1 + an)/2 * n, czyli jako średnią pierwszego i ostatniego wyrazu pomnożoną przez liczbę wyrazów. Dzięki temu suma liczb od 1 do 100 wynosi (1 + 100)/2 * 100 = 5050. Poniżej znajduje się krótkie przypomnienie definicji ciągu arytmetycznego, wyprowadzenie wzoru, druga postać wzoru oraz dwa pełne przykłady doprowadzone do wyniku.

Co to jest ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny to taki ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie tej samej liczby, nazywanej różnicą r. Wyraz ogólny takiego ciągu zapisuje się jako an = a1 + (n - 1)*r.

W zapisie tym a1 oznacza pierwszy wyraz ciągu, r oznacza stałą różnicę między sąsiednimi wyrazami, a n wskazuje numer wyrazu. Jeżeli pierwszy wyraz ma wartość 3, a różnica wynosi 4, to kolejne wyrazy to 3, 7, 11, 15 i tak dalej. Każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego o 4, więc jest to ciąg arytmetyczny.

Ta definicja jest ważna przed liczeniem sumy, ponieważ wzór na sumę ciągu arytmetycznego działa dla ciągów o stałej różnicy. Jeżeli różnice między kolejnymi wyrazami są różne, nie należy podstawiać liczb do wzoru na sumę ciągu arytmetycznego.

Wzór na sumę ciągu arytmetycznego

Wzór na sumę ciągu arytmetycznego ma postać Sn = (a1 + an)/2 * n. Oznacza to, że należy dodać pierwszy i ostatni wyraz, podzielić wynik przez 2, a następnie pomnożyć przez liczbę wyrazów.

Symbol Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu. Symbol a1 oznacza pierwszy wyraz, an oznacza ostatni wyraz w liczonej części ciągu, a n oznacza liczbę dodawanych wyrazów. Jeżeli liczy się sumę 10 początkowych wyrazów, wtedy n = 10, a ostatnim wyrazem w tej sumie jest a10.

Intuicję wzoru dobrze pokazuje metoda Gaussa. Sumę można zapisać raz od początku, a drugi raz od końca. Wtedy pierwszy wyraz łączy się z ostatnim, drugi z przedostatnim, trzeci z trzecim od końca. W ciągu arytmetycznym każda taka para ma tę samą sumę: a1 + an. Skoro takich par w podwojonej sumie jest n, powstaje zależność 2*Sn = n * (a1 + an). Po podzieleniu przez 2 otrzymuje się Sn = (a1 + an)/2 * n.

Istnieje też druga, równoważna postać wzoru: Sn = (2*a1 + (n - 1)*r)/2 * n. Stosuje się ją wtedy, gdy znane są pierwszy wyraz a1, różnica r i liczba wyrazów n, ale nie podano ostatniego wyrazu an. W praktyce można najpierw obliczyć an ze wzoru an = a1 + (n - 1)*r, a potem użyć pierwszego wzoru, albo od razu podstawić dane do drugiej postaci.

Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego - przykłady

Sumę ciągu arytmetycznego najbezpieczniej obliczać krok po kroku: najpierw ustalić a1, an i n, a dopiero potem podstawić dane do wzoru Sn = (a1 + an)/2 * n. Jeżeli ostatni wyraz nie jest znany, należy najpierw policzyć go ze wzoru an = a1 + (n - 1)*r.

W pierwszym przykładzie można obliczyć sumę liczb od 1 do 100. Jest to ciąg arytmetyczny, ponieważ kolejne liczby różnią się o 1. Pierwszy wyraz to a1 = 1, ostatni wyraz to an = 100, a liczba wyrazów to n = 100. Po podstawieniu do wzoru otrzymuje się Sn = (1 + 100)/2 * 100 = 101/2 * 100 = 50,5 * 100 = 5050. Suma liczb od 1 do 100 wynosi więc 5050.

W drugim przykładzie dany jest ciąg 3, 7, 11, 15, ... oraz trzeba obliczyć sumę 10 początkowych wyrazów. Pierwszy wyraz to a1 = 3, różnica to r = 4, a liczba wyrazów to n = 10. Najpierw trzeba obliczyć dziesiąty wyraz: a10 = 3 + (10 - 1)*4 = 3 + 36 = 39. Teraz można użyć wzoru na sumę: Sn = (3 + 39)/2 * 10 = 42/2 * 10 = 21 * 10 = 210. Suma 10 początkowych wyrazów tego ciągu wynosi 210.

Ten sam wynik daje druga postać wzoru. Po podstawieniu danych otrzymuje się Sn = (2*3 + (10 - 1)*4)/2 * 10 = (6 + 36)/2 * 10 = 42/2 * 10 = 210. Zgodność wyników potwierdza, że oba wzory opisują tę samą sumę, tylko korzystają z innych danych wejściowych.

Najczęstsze błędy przy liczeniu sumy

Najczęstszy błąd polega na pomyleniu wzoru na sumę ciągu arytmetycznego ze wzorem na wyraz ogólny. Wzór an = a1 + (n - 1)*r służy do obliczenia konkretnego wyrazu, natomiast Sn = (a1 + an)/2 * n służy do obliczenia sumy wielu wyrazów.

W zadaniach warto szczególnie uważać na kilka miejsc:

* różnica r nie jest tym samym co ostatni wyraz an; * liczba n oznacza liczbę dodawanych wyrazów, a nie zawsze wartość ostatniego wyrazu; * gdy nie podano an, trzeba go obliczyć przed użyciem wzoru Sn = (a1 + an)/2 * n; * suma Sn nie jest pojedynczym wyrazem ciągu.

Dobrym sposobem kontroli jest podstawienie wyniku do sensu zadania. Dla ciągu 3, 7, 11, ... dziesiąty wyraz nie może wynosić 10, bo 10 jest tylko numerem wyrazu. Najpierw liczy się a10 = 39, a dopiero potem sumę 10 wyrazów. Podobnie w sumie od 1 do 100 liczba n wynosi 100, ponieważ dodawanych jest 100 liczb.

Najczęściej zadawane pytania

Jaki jest wzór na sumę ciągu arytmetycznego?

Wzór na sumę ciągu arytmetycznego to Sn = (a1 + an)/2 * n. Oznacza on średnią pierwszego i ostatniego wyrazu pomnożoną przez liczbę wyrazów.

Jak obliczyć sumę ciągu arytmetycznego?

Najpierw należy ustalić a1, an i n, a potem podstawić dane do wzoru Sn = (a1 + an)/2 * n. Jeżeli an nie jest znane, trzeba obliczyć je ze wzoru an = a1 + (n - 1)*r.

Co oznacza Sn?

Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu. Na przykład S10 oznacza sumę pierwszych 10 wyrazów, a S100 oznacza sumę pierwszych 100 wyrazów.

Jak policzyć sumę od 1 do 100?

Dla liczb od 1 do 100 przyjmuje się a1 = 1, an = 100 i n = 100. Po podstawieniu: Sn = (1 + 100)/2 * 100 = 5050.

Kiedy użyć drugiej postaci wzoru?

Drugiej postaci Sn = (2*a1 + (n - 1)*r)/2 * n używa się wtedy, gdy znane są a1, r i n, ale nie podano ostatniego wyrazu an.

Co to jest ciąg arytmetyczny?

Ciąg arytmetyczny to ciąg, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez dodanie stałej różnicy r. Przykładem jest ciąg 3, 7, 11, 15, ponieważ różnica wynosi 4.

Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu?

n-ty wyraz ciągu arytmetycznego oblicza się ze wzoru an = a1 + (n - 1)*r. Dla a1 = 3, r = 4 i n = 10 otrzymuje się a10 = 39.