Suma ciągu geometrycznego - wzór i przykłady

Suma ciągu geometrycznego to suma wybranej liczby kolejnych wyrazów ciągu, w którym każdy następny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz q. Dla q różnego od 1 stosuje się wzór Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q), a dla q = 1 osobny wzór Sn = a1 * n. Na przykład dla ciągu 2, 6, 18, 54 suma czterech początkowych wyrazów wynosi 80. Poniżej znajduje się przypomnienie definicji, wzór oraz dwa sprawdzone przykłady obliczeń.

Co to jest ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz otrzymuje się przez pomnożenie poprzedniego przez ten sam iloraz q. Ten stały mnożnik decyduje o tym, czy wyrazy rosną, maleją, zmieniają znak albo pozostają takie same.

Jeżeli pierwszy wyraz oznacza się jako a1, a iloraz jako q, to n-ty wyraz ciągu geometrycznego opisuje wzór an = a1 * q^(n-1). Oznacza to, że drugi wyraz ma postać a2 = a1 * q, trzeci a3 = a1 * q^2, a czwarty a4 = a1 * q^3. W potędze pojawia się n - 1, ponieważ pierwszy wyraz nie został jeszcze pomnożony przez q.

Przykładem ciągu geometrycznego jest 2, 6, 18, 54. Każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez 3, więc q = 3. Nie jest to ciąg arytmetyczny, ponieważ między kolejnymi wyrazami nie dodaje się tej samej liczby. W ciągu arytmetycznym działa stała różnica, a w geometrycznym stały iloraz.

Wzór na sumę ciągu geometrycznego

Wzór na sumę ciągu geometrycznego dla q różnego od 1 ma postać Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q). Gdy q = 1, nie wolno używać tego wzoru, bo w mianowniku pojawia się 1 - q, czyli 0, dlatego wtedy stosuje się Sn = a1 * n.

W tym zapisie Sn oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Symbol a1 oznacza pierwszy wyraz ciągu, q oznacza iloraz ciągu, a n oznacza liczbę sumowanych wyrazów. Jeżeli trzeba obliczyć sumę czterech początkowych wyrazów, przyjmuje się n = 4. Jeżeli trzeba obliczyć sumę dziesięciu początkowych wyrazów, przyjmuje się n = 10.

Najważniejsze oznaczenia są następujące:

* Sn - suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, * a1 - pierwszy wyraz ciągu, * q - stały iloraz ciągu, * n - liczba wyrazów, które mają zostać dodane.

Osobny przypadek q = 1 jest prosty. Jeżeli q = 1, każdy kolejny wyraz jest taki sam jak poprzedni, bo mnożenie przez 1 nie zmienia liczby. Ciąg ma wtedy postać a1, a1, a1, a1 i tak dalej. Suma n takich wyrazów to po prostu Sn = a1 * n. Na przykład dla ciągu 5, 5, 5, 5 suma czterech wyrazów wynosi 5 * 4 = 20.

Wzór Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q) ma także równoważną postać Sn = a1 * (q^n - 1)/(q - 1). Obie wersje dają ten sam wynik, o ile q jest różne od 1. W praktyce najważniejsze jest konsekwentne podstawienie danych i pilnowanie znaków.

Jak obliczyć sumę ciągu geometrycznego - przykłady

Sumę ciągu geometrycznego oblicza się przez ustalenie a1, q i n, a następnie podstawienie tych danych do odpowiedniego wzoru. Przy q różnym od 1 używa się Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q), a przy q = 1 używa się Sn = a1 * n.

Dla ciągu 2, 6, 18, 54 pierwszy wyraz wynosi a1 = 2. Iloraz ciągu to q = 3, ponieważ 6/2 = 3, 18/6 = 3 i 54/18 = 3. Sumowane są cztery początkowe wyrazy, więc n = 4. Po podstawieniu do wzoru otrzymuje się Sn = 2 * (1 - 3^4)/(1 - 3). Dalej Sn = 2 * (1 - 81)/(-2), czyli Sn = 2 * (-80)/(-2). Po skróceniu zostaje Sn = 2 * 40 = 80. Sprawdzenie bezpośrednie potwierdza wynik: 2 + 6 + 18 + 54 = 80.

Drugi przykład pokazuje, że wzór działa także dla ilorazu ułamkowego. Dany jest ciąg 3, 3/2, 3/4, ... Wtedy a1 = 3, q = 1/2, a do obliczenia sumy trzech początkowych wyrazów przyjmuje się n = 3. Podstawienie daje Sn = 3 * (1 - (1/2)^3)/(1 - 1/2). Ponieważ (1/2)^3 = 1/8, otrzymuje się Sn = 3 * (1 - 1/8)/(1/2). Dalej Sn = 3 * (7/8)/(1/2), czyli Sn = 3 * (7/8 * 2). Wynik to Sn = 3 * 7/4 = 21/4 = 5,25. Sprawdzenie bezpośrednie również się zgadza: 3 + 1,5 + 0,75 = 5,25.

W obliczeniach warto najpierw znaleźć q z dwóch kolejnych wyrazów, a dopiero potem podstawiać dane do wzoru. Dzięki temu łatwiej uniknąć pomylenia liczby wyrazów n z numerem ostatniego zapisanego działania albo z wykładnikiem potęgi.

Najczęstsze błędy przy sumie ciągu geometrycznego

Najczęstsze błędy przy sumie ciągu geometrycznego wynikają z pomylenia definicji ciągu, złego użycia ilorazu q albo pominięcia przypadku q = 1. Wystarczy sprawdzić te trzy miejsca, aby większość obliczeń była poprawna.

Najpierw należy upewnić się, że ciąg rzeczywiście jest geometryczny. W ciągu 2, 6, 18, 54 iloraz jest stały, bo każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie przez 3. Gdyby zamiast mnożenia występowało dodawanie tej samej liczby, trzeba byłoby użyć wzorów dla ciągu arytmetycznego, a nie geometrycznego.

Typowe błędy wyglądają tak:

* mylenie ilorazu q z różnicą z ciągu arytmetycznego, * podstawianie wzoru Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q) dla q = 1, * liczenie q^n jako q * n zamiast potęgi, * gubienie minusa w mianowniku 1 - q, szczególnie wtedy, gdy q > 1.

Szczególnie ważny jest warunek q różne od 1. Jeżeli q = 1, mianownik 1 - q wynosi 0, a dzielenie przez 0 nie ma sensu. Wtedy wszystkie wyrazy są równe a1, więc suma ma prostą postać Sn = a1 * n. To nie jest wyjątek techniczny, ale osobny przypadek wynikający bezpośrednio z budowy ciągu.

Warto też pamiętać, że suma nieskończonego ciągu geometrycznego to inne zagadnienie. Dla ciągu nieskończonego zbieżnego, gdy |q| < 1, pojawia się wzór S = a1/(1 - q), ale nie służy on do obliczania sumy n początkowych wyrazów w zadaniach omawianych powyżej.

Często zadawane pytania

Jaki jest wzór na sumę ciągu geometrycznego?

Wzór na sumę ciągu geometrycznego dla q różnego od 1 to Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q). Równoważnie można użyć Sn = a1 * (q^n - 1)/(q - 1).

Jak obliczyć sumę ciągu geometrycznego?

Należy ustalić pierwszy wyraz a1, iloraz q oraz liczbę sumowanych wyrazów n. Następnie podstawia się dane do wzoru Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q), jeśli q jest różne od 1.

Co to jest ciąg geometryczny?

Ciąg geometryczny to ciąg, w którym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz q. Jego wyraz ogólny opisuje wzór an = a1 * q^(n-1).

Kiedy stosuje się wzór Sn = a1 * n?

Wzór Sn = a1 * n stosuje się wtedy, gdy q = 1. Wszystkie wyrazy ciągu są wtedy równe a1, więc suma n wyrazów oznacza dodanie tej samej liczby n razy.

Co oznacza iloraz q?

Iloraz q oznacza stały mnożnik między kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Można go obliczyć przez podzielenie dowolnego wyrazu przez wyraz poprzedni, na przykład q = a2/a1.

Jak obliczyć n-ty wyraz ciągu geometrycznego?

n-ty wyraz ciągu geometrycznego oblicza się ze wzoru an = a1 * q^(n-1). Trzeba znać pierwszy wyraz a1, iloraz q oraz numer wyrazu n.

Czym różni się ciąg geometryczny od arytmetycznego?

W ciągu geometrycznym kolejne wyrazy powstają przez mnożenie przez stały iloraz q. W ciągu arytmetycznym kolejne wyrazy powstają przez dodawanie stałej różnicy.