Trójkąty przystające - cechy przystawania i przykłady

Trójkąty przystające to takie trójkąty, które mają identyczny kształt i identyczne rozmiary, więc można je na siebie dokładnie nałożyć. Oznacza to, że odpowiadające sobie boki mają równe długości, a odpowiadające sobie kąty równe miary. Żeby stwierdzić, że dwa trójkąty są przystające, nie trzeba jednak porównywać wszystkich sześciu elementów. Wystarczy sprawdzić jeden z trzech warunków nazywanych cechami przystawania. Poniżej znajduje się wyjaśnienie, czym jest przystawanie, jakie są jego trzy cechy oraz czym przystawanie różni się od podobieństwa trójkątów.

Co oznacza, że trójkąty są przystające

Dwa trójkąty są przystające, gdy są swoimi dokładnymi kopiami. Gdybyśmy wycięli jeden z nich z kartki i położyli na drugim, pokryłyby się bez żadnego wystającego fragmentu. Nie ma przy tym znaczenia, że jeden trójkąt może być obrócony, przesunięty albo odbity lustrzanie. Liczy się to, że po odpowiednim ułożeniu oba się pokrywają.

Z przystawania wynika ważna zależność. Skoro trójkąty są identyczne, to ich odpowiadające sobie boki są równe i odpowiadające sobie kąty są równe. Odpowiadające sobie elementy to takie, które w obu trójkątach leżą w tym samym miejscu, na przykład najkrótszy bok jednego odpowiada najkrótszemu bokowi drugiego. Ta własność jest bardzo przydatna w zadaniach, ponieważ jeśli udowodnimy przystawanie, możemy od razu wnioskować o równości wielu odcinków i kątów, nie mierząc ich osobno.

W praktyce rzadko dysponujemy wszystkimi danymi naraz. Dlatego matematyka podaje krótsze sposoby rozpoznawania przystawania, oparte na trzech wybranych elementach. Są to cechy przystawania trójkątów.

Trzy cechy przystawania trójkątów

Istnieją trzy podstawowe cechy przystawania. Wystarczy, że spełniona jest choć jedna z nich, aby trójkąty były przystające.

• cecha bok bok bok, w skrócie BBB, mówi, że jeśli trzy boki jednego trójkąta są równe trzem odpowiednim bokom drugiego trójkąta, to trójkąty są przystające,
• cecha bok kąt bok, w skrócie BKB, mówi, że jeśli dwa boki i kąt zawarty między nimi w jednym trójkącie są równe dwóm bokom i kątowi między nimi w drugim, to trójkąty są przystające,
• cecha kąt bok kąt, w skrócie KBK, mówi, że jeśli jeden bok i dwa przylegające do niego kąty w jednym trójkącie są równe odpowiednim elementom drugiego, to trójkąty są przystające.

W cesze BKB kluczowe jest słowo między. Kąt musi leżeć dokładnie pomiędzy dwoma znanymi bokami, a nie gdziekolwiek w trójkącie. Podobnie w cesze KBK oba kąty muszą przylegać do znanego boku, czyli leżeć przy jego końcach. Pominięcie tych warunków jest najczęstszym błędem, ponieważ samo posiadanie dwóch równych boków i jednego równego kąta nie zawsze wystarcza do przystawania, jeśli kąt nie leży we właściwym miejscu.

Rozważmy prosty przykład cechy BBB. Jeśli pierwszy trójkąt ma boki o długościach 3, 4 i 5, a drugi także 3, 4 i 5, to na mocy cechy bok bok bok trójkąty są przystające, mimo że mogą być inaczej ustawione na rysunku. Dla cechy BKB wyobraźmy sobie dwa trójkąty, w których dwa boki mają po 6 i 8 jednostek, a kąt zawarty między tymi bokami wynosi w obu po 40 stopni. Taki układ jednoznacznie wyznacza trzeci bok i pozostałe kąty, więc trójkąty muszą być przystające.

Przystawanie a podobieństwo trójkątów

Przystawania nie należy mylić z podobieństwem. Trójkąty podobne mają ten sam kształt, ale mogą różnić się wielkością. Ich odpowiadające sobie kąty są równe, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne, czyli powiększone lub pomniejszone w tej samej skali. Podobny trójkąt jest więc jakby powiększoną albo pomniejszoną fotografią drugiego.

Przystawanie to szczególny przypadek podobieństwa, w którym skala wynosi jeden. Innymi słowy, trójkąty przystające są zawsze podobne, ale nie odwrotnie, bo trójkąty podobne bywają różnej wielkości. Najłatwiej zapamiętać to tak: trójkąty przystające mają ten sam kształt i ten sam rozmiar, a trójkąty podobne mają ten sam kształt, lecz mogą mieć różny rozmiar. Rozróżnienie tych dwóch pojęć jest niezbędne w geometrii, ponieważ do przystawania i do podobieństwa stosuje się inne cechy i inne wnioski.

Do czego przydaje się przystawanie trójkątów

Przystawanie nie jest tylko szkolną ciekawostką, lecz narzędziem, które ma realne zastosowania. W geometrii służy przede wszystkim do dowodzenia. Gdy trzeba wykazać, że dwa odcinki mają równą długość albo że dwa kąty są równe, często najpierw dowodzi się przystawania odpowiednich trójkątów, a potem korzysta z tego, że w przystających trójkątach odpowiadające sobie elementy są równe. Ten sposób rozumowania pojawia się w wielu klasycznych twierdzeniach, na przykład przy dowodzeniu własności trójkąta równoramiennego czy przekątnych figur.

Przystawanie ma też związek ze sztywnością trójkąta, którą wykorzystuje się poza matematyką. Cecha bok bok bok mówi, że trzy boki jednoznacznie wyznaczają cały trójkąt, więc figura o zadanych bokach ma tylko jeden możliwy kształt. Właśnie dlatego trójkąt jest tak stabilny i nie daje się odkształcić bez zmiany długości boków. Konstruktorzy wykorzystują tę własność w kratownicach mostów, dachów i wież, gdzie elementy łączy się w trójkąty, aby konstrukcja się nie chwiała. Ta sama zasada tłumaczy, dlaczego trójkątne wzmocnienia dodaje się w meblach i bramach.

Najczęściej zadawane pytania