Twierdzenie cosinusów - wzór, kiedy stosować i przykłady krok po kroku

Twierdzenie cosinusów to wzór c² = a² + b² − 2ab · cos γ, który wiąże długości trzech boków trójkąta z cosinusem kąta leżącego między dwoma z nich. Używasz go w dwóch sytuacjach: gdy znasz dwa boki i kąt między nimi i szukasz trzeciego boku, albo gdy znasz trzy boki i szukasz dowolnego kąta. To uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na dowolny trójkąt, nie tylko prostokątny.

Poniżej znajdziesz wzór z opisem oznaczeń, jasną zasadę kiedy go stosować zamiast twierdzenia sinusów, dwa przykłady rozwiązane krok po kroku, związek z Pitagorasem oraz sposób na rozpoznanie rodzaju trójkąta.

Jak brzmi twierdzenie cosinusów i co oznaczają symbole

Słownie: w dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych boków, pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi. W zapisie symbolicznym dla boku c naprzeciw kąta γ wygląda to tak: c² = a² + b² − 2ab · cos γ.

Litery a, b, c to długości boków, a γ (gamma) to kąt leżący naprzeciw boku c, czyli zawarty między bokami a i b. Wzór działa dla każdego boku, wystarczy podstawić kąt naprzeciw niego. Dlatego ma trzy równoważne wersje:

• a² = b² + c² − 2bc · cos α (kąt α naprzeciw boku a)
• b² = a² + c² − 2ac · cos β (kąt β naprzeciw boku b)
• c² = a² + b² − 2ab · cos γ (kąt γ naprzeciw boku c)

Kluczowa zasada: kąt we wzorze zawsze leży naprzeciw boku, który stoi sam po lewej stronie. To najczęstsze źródło pomyłek, więc warto najpierw zaznaczyć na rysunku, który kąt jest między którymi bokami.

Kiedy stosować twierdzenie cosinusów, a kiedy sinusów

Twierdzenie cosinusów wybierasz w dwóch przypadkach: gdy masz dwa boki i kąt między nimi (układ bok-kąt-bok), albo gdy masz trzy boki. W pozostałych sytuacjach zwykle szybciej zadziała twierdzenie sinusów. Poniższa tabela porządkuje wybór.

W skrócie: jeśli w danych pojawia się kąt zamknięty między dwoma bokami, prawie zawsze chodzi o twierdzenie cosinusów. Twierdzenie sinusów potrzebuje pary bok i kąt naprzeciw niego, a tej pary w układzie bok-kąt-bok po prostu nie ma.

Przykład 1: oblicz trzeci bok (dwa boki i kąt)

Mając boki a = 7 cm, b = 5 cm i kąt γ = 60° między nimi, trzeci bok wynosi c ≈ 6,24 cm. To klasyczny układ bok-kąt-bok, w którym twierdzenie cosinusów prowadzi prosto do wyniku.

Podstawiamy dane do wzoru c² = a² + b² − 2ab · cos γ. Cosinus 60° wynosi 0,5, więc:

c² = 7² + 5² − 2 · 7 · 5 · cos 60°
c² = 49 + 25 − 70 · 0,5
c² = 74 − 35 = 39
c = √39 ≈ 6,24 cm

Wynik wychodzi pośredni między 5 a 7 cm i to się zgadza: skoro kąt 60° jest ostry, trzeci bok musi być krótszy, niż gdyby kąt był prosty (wtedy c = √74 ≈ 8,6 cm).

Przykład 2: oblicz kąt (znane trzy boki)

W trójkącie o bokach a = 5, b = 6, c = 7 kąt γ naprzeciw najdłuższego boku wynosi około 78,5°. Gdy znasz trzy boki, wzór przekształcasz tak, aby wyznaczyć cosinus szukanego kąta.

Z równania c² = a² + b² − 2ab · cos γ wyciągamy cos γ:

cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab)
cos γ = (25 + 36 − 49) / (2 · 5 · 6)
cos γ = 12 / 60 = 0,2
γ = arccos(0,2) ≈ 78,5°

Ostatni krok wymaga funkcji odwrotnej do cosinusa (na kalkulatorze klawisz cos⁻¹ lub arccos). Upewnij się, że kalkulator pracuje w stopniach, a nie w radianach, bo to najczęstsza przyczyna błędnego wyniku.

Twierdzenie cosinusów a twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa to szczególny przypadek twierdzenia cosinusów dla kąta prostego. Gdy γ = 90°, cosinus tego kąta wynosi zero, więc składnik 2ab · cos γ znika i zostaje czysta postać a² + b² = c².

To pokazuje, dlaczego twierdzenie cosinusów jest mocniejsze: działa w każdym trójkącie, a Pitagoras tylko w prostokątnym. Składnik z cosinusem pełni rolę poprawki, która uwzględnia, o ile kąt różni się od prostego. Dla kąta ostrego poprawka odejmuje (bok wychodzi krótszy), dla rozwartego dodaje (bok dłuższy).

Jak rozpoznać rodzaj trójkąta z twierdzenia cosinusów

Znak różnicy między c² a sumą a² + b² (gdzie c jest najdłuższym bokiem) mówi, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. Wynika to wprost ze składnika z cosinusem, bo to jego znak decyduje o miarze największego kąta.

Reguła jest prosta i sprawdzasz ją dla najdłuższego boku c:

• c² < a² + b² oznacza kąt mniejszy od prostego, czyli trójkąt ostrokątny
• c² = a² + b² to dokładnie kąt prosty, czyli trójkąt prostokątny
• c² > a² + b² oznacza kąt większy od prostego, czyli trójkąt rozwartokątny

Przykład: boki 5, 6, 7. Sprawdzamy najdłuższy: 7² = 49, a 5² + 6² = 61. Skoro 49 jest mniejsze od 61, trójkąt jest ostrokątny. Ten sam wniosek potwierdza przykład 2, w którym największy kąt wyszedł 78,5°, czyli poniżej 90°.

Najczęstsze błędy przy twierdzeniu cosinusów

Większość pomyłek dotyczy doboru kąta i ustawień kalkulatora. Warto pilnować trzech rzeczy:

• Zły kąt. We wzorze kąt musi leżeć naprzeciw boku stojącego samodzielnie po lewej stronie. Kąt przy innym wierzchołku da błędny wynik.
• Stopnie zamiast radianów. Przy obliczaniu cos γ albo arccos sprawdź, w jakim trybie jest kalkulator. Tryb radianów to klasyczna pułapka.
• Znak cosinusa dla kąta rozwartego. Dla kąta powyżej 90° cosinus jest ujemny, więc składnik 2ab · cos γ dodaje się do sumy kwadratów. Pominięcie minusa zaniża wynik.

Skąd pochodzi twierdzenie cosinusów

Geometryczną wersję twierdzenia znał już Euklides około 300 roku p.n.e. W jego dziele "Elementy" pojawia się w księdze drugiej jako zależność między bokami trójkąta, choć bez współczesnego pojęcia cosinusa, którego wtedy nie używano. Dzisiejszą postać z funkcją trygonometryczną twierdzenie zyskało znacznie później, wraz z rozwojem trygonometrii.

W literaturze francuskiej bywa nazywane twierdzeniem Carnota, od nazwiska matematyka, który je spopularyzował. Niezależnie od nazwy, opisuje tę samą zależność, na której opiera się rozwiązywanie trójkątów w geometrii i nawigacji.

Często zadawane pytania

Jak brzmi wzór na twierdzenie cosinusów?
Wzór to c² = a² + b² − 2ab · cos γ, gdzie a, b, c to boki trójkąta, a γ to kąt naprzeciw boku c, czyli między bokami a i b.

Kiedy używamy twierdzenia cosinusów?
W dwóch przypadkach: gdy znamy dwa boki i kąt między nimi i szukamy trzeciego boku, albo gdy znamy trzy boki i chcemy obliczyć dowolny kąt trójkąta.

Czym różni się twierdzenie cosinusów od twierdzenia Pitagorasa?
Twierdzenie cosinusów działa w każdym trójkącie, a Pitagoras tylko w prostokątnym. Dla kąta 90° cosinus wynosi zero i wzór cosinusów upraszcza się do a² + b² = c².

Jak obliczyć kąt z twierdzenia cosinusów?
Przekształcasz wzór do postaci cos γ = (a² + b² − c²) / (2ab), liczysz wartość cosinusa, a następnie kąt przez funkcję arccos na kalkulatorze ustawionym na stopnie.

Czy twierdzenie cosinusów działa dla kąta rozwartego?
Tak. Dla kąta powyżej 90° cosinus jest ujemny, więc składnik 2ab · cos γ faktycznie dodaje się do sumy kwadratów, a bok naprzeciw tego kąta wychodzi najdłuższy.

Co to jest twierdzenie Carnota?
To inna nazwa twierdzenia cosinusów, używana głównie w literaturze francuskiej. Opisuje tę samą zależność między bokami trójkąta a cosinusem kąta między nimi.

Jeśli pracujesz z trójkątami, przydadzą się też powiązane tematy: tabela trygonometryczna, cosinusoida oraz wzór na wysokość trójkąta.

Źródła:
[1] Wikipedia, hasło "Twierdzenie cosinusów", pl.wikipedia.org
[2] Zintegrowana Platforma Edukacyjna MEN, materiały o twierdzeniu cosinusów, zpe.gov.pl