Wyłączanie czynnika przed znak pierwiastka: algorytm i tabela

Wyłączanie czynnika to zamiana pierwiastka z dużej liczby na iloczyn liczby całkowitej i pierwiastka z liczby mniejszej. Pierwiastek z 72 zapisujemy jako 6 razy pierwiastek z 2, bo 72 to 36 razy 2, a z trzydziestu sześciu pierwiastek wychodzi równo. Cała trudność sprowadza się do jednego pytania: jaki największy kwadrat kryje się w liczbie pod pierwiastkiem.

Reguła, z której to wynika

Podstawą jest własność mówiąca, że pierwiastek z iloczynu równa się iloczynowi pierwiastków, o ile obie liczby są nieujemne. Zapisując to znakami: pierwiastek z a razy b to pierwiastek z a pomnożony przez pierwiastek z b.

Wyłączanie czynnika wykorzystuje tę własność w jedną stronę. Rozbijamy liczbę pod pierwiastkiem na iloczyn, w którym jeden składnik jest pełnym kwadratem, a potem z tego kwadratu wyciągamy pierwiastek, bo daje liczbę całkowitą.

Algorytm w trzech krokach

Krok pierwszy: znajdź największy pełny kwadrat, przez który dana liczba dzieli się bez reszty. Dla 72 są to 4, 9 i 36, więc wybieramy 36.

Krok drugi: zapisz liczbę jako iloczyn tego kwadratu i drugiego czynnika. Siedemdziesiąt dwa to 36 razy 2.

Krok trzeci: wyciągnij pierwiastek z kwadratu i zostaw resztę pod znakiem. Z 36 wychodzi 6, więc odpowiedź to 6 razy pierwiastek z 2.

Jeśli trudno od razu dostrzec największy kwadrat, pomaga rozkład na czynniki pierwsze. Siedemdziesiąt dwa to 2 do potęgi trzeciej razy 3 do kwadratu. Każdą parę jednakowych czynników wyprowadzamy przed pierwiastek jako jeden egzemplarz, a to, co zostaje bez pary, zostaje pod spodem. Metoda rozkładu jest wolniejsza, ale nigdy nie zawodzi, więc na sprawdzianie warto znać obie.

Tabela najczęstszych przypadków

Policzyliśmy rozkłady dla wszystkich liczb od 2 do 200 własnym skryptem i sprawdziliśmy każdy wynik numerycznie. Poniżej te, które pojawiają się w zadaniach najczęściej.

Warto zauważyć powtarzalność. Pod pierwiastkiem zostaje najczęściej 2, 3, 5 albo 6, bo to liczby, które nie mają w sobie żadnego kwadratu. Rozpoznanie kilkunastu takich przypadków z pamięci oszczędza na egzaminie więcej czasu niż liczenie za każdym razem od zera.

Jak często to w ogóle działa

Tu pojawia się rzecz, o której podręczniki milczą, a która zmienia podejście do zadania. Przeliczyliśmy cały zakres od 2 do 200 i podzieliliśmy liczby na trzy grupy.

Oznacza to, że w ponad sześćdziesięciu procentach przypadków pierwiastka nie da się uprościć. Liczby takie jak 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14 czy 15 nie zawierają w sobie żadnego pełnego kwadratu i zostają w postaci, w jakiej są.

Praktyczny wniosek jest taki, że odpowiedź w postaci samego pierwiastka bywa poprawna i kompletna. Uczniowie często tracą czas, próbując na siłę uprościć coś, czego uprościć się nie da, albo, co gorsza, zapisują błędny wynik, żeby zadanie wyglądało na dokończone.

Typowe błędy

Pierwszy i najczęstszy to wyłączenie czynnika, który nie jest kwadratem. Zapis pierwiastka z 12 jako 3 razy pierwiastek z 4 nie ma sensu, bo to właśnie z czwórki wychodzi pierwiastek całkowity, więc rozbicie zrobiono odwrotnie. Poprawnie jest 2 razy pierwiastek z 3.

Drugi to zatrzymanie się w połowie. Pierwiastek z 72 zapisany jako 2 razy pierwiastek z 18 jest prawdziwy, ale niedokończony, bo w osiemnastce siedzi jeszcze dziewiątka. Dlatego zawsze szukamy największego kwadratu, a nie pierwszego, który wpadnie w oko.

Trzeci błąd dotyczy dodawania. Pierwiastek z sumy nie równa się sumie pierwiastków, więc pierwiastka z 9 dodać 16 nie wolno zamienić na 3 dodać 4. Własność, na której opiera się wyłączanie czynnika, dotyczy mnożenia i dzielenia, nigdy dodawania ani odejmowania.

Działanie odwrotne, czyli podnoszenie do potęgi, opisaliśmy przy potęgowaniu o wykładniku naturalnym. Szerzej o samych pierwiastkach, ich własnościach i pierwiastkach sześciennych piszemy przy obliczaniu pierwiastków. Sam rozkład na czynniki pierwsze, przydatny w metodzie opisanej wyżej, omawiamy przy rozkładaniu liczby na czynniki pierwsze.

Najczęstsze pytania