Portal edukacyjny — szkoły, studia, kursy i rozwój
Rankingi  ·  Kontakt
Strona główna › Tangens – definicja, wzory, wartości kątów, wykres i zastosowania
Matematyka

Tangens – definicja, wzory, wartości kątów, wykres i zastosowania

21.04.2026 · 3 min czytania · admin
Tangens – definicja, wzory, wartości kątów, wykres i zastosowania

Tangens (tg lub tan) to jedna z podstawowych funkcji trygonometrycznych. W trójkącie prostokątnym tangens kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej. Tangens pojawia się w geometrii, fizyce, inżynierii i nawet w codziennym życiu (np. nachylenie rampy). W tym artykule wyjaśniamy definicję, podajemy wartości dla kątów specjalnych, wykres i zastosowania.

Definicja tangensa

W trójkącie prostokątnym

Dla kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym:

tg α = przyprostokątna przeciwległa / przyprostokątna przyległa

Lub równoważnie:

tg α = sin α / cos α

Mnemonik do zapamiętania

Popularne sposoby zapamiętywania funkcji trygonometrycznych:

  • sin = przeciwległa / przeciwprostokątna (pp)
  • cos = przyległa / przeciwprostokątna
  • tg = przeciwległa / przyległa

Wartości tangensa dla kątów specjalnych

Kąt α tg α Wartość dziesiętna
0° 0 0
30° √3/3 ≈ 0,5774
45° 1 1
60° √3 ≈ 1,7321
90° nie istnieje ∞ (granica)
120° -√3 ≈ -1,7321
135° -1 -1
150° -√3/3 ≈ -0,5774
180° 0 0

Ważne: tg 90° nie istnieje (dzielenie przez zero, bo cos 90° = 0).

Jak zapamiętać wartości tangensa?

Prosta metoda — tangens kątów specjalnych to wzorzec „pierwiastki przez 3″:

  • tg 30° = √3 / 3 (mały kąt → mała wartość)
  • tg 45° = 1 (obie przyprostokątne równe)
  • tg 60° = √3 (duży kąt → duża wartość)

Albo: tg 30° = 1/√3, tg 45° = √3/√3 = 1, tg 60° = √3/1 → wzorzec rosnący!

Wzory z tangensem

Podstawowe tożsamości

Tożsamość Wzór
Definicja przez sin i cos tg α = sin α / cos α
Jedynka trygonometryczna sin²α + cos²α = 1
Związek tg i ctg tg α × ctg α = 1
Tożsamość z tg 1 + tg²α = 1 / cos²α
Tangens sumy tg(α + β) = (tg α + tg β) / (1 − tg α · tg β)
Tangens podwojonego kąta tg 2α = 2tg α / (1 − tg²α)

Wykres funkcji tangens

Wykres tg x ma charakterystyczny kształt:

  • Okres: π (180°) — wzorzec powtarza się co π
  • Asymptoty pionowe: x = 90° + k·180° (k ∈ Z) — tam tg nie istnieje
  • Przechodzi przez początek: tg 0 = 0
  • Funkcja nieparzysta: tg(-α) = -tg α
  • Monotoniczność: rosnąca w każdym przedziale między asymptotami
  • Zbiór wartości: cała oś rzeczywista (-∞; +∞)

Cotangens — funkcja odwrotna

Cotangens (ctg) to odwrotność tangensa:

ctg α = cos α / sin α = 1 / tg α

W trójkącie prostokątnym: ctg α = przyprostokątna przyległa / przyprostokątna przeciwległa.

Kąt α ctg α
0° nie istnieje
30° √3
45° 1
60° √3/3
90° 0

Zastosowania tangensa

  • Nachylenie terenu / rampy — tg kąta nachylenia = wysokość / długość pozioma
  • Wysokość budynku — mierząc kąt patrzenia z odległości d: h = d × tg α
  • Fizyka — rozkład sił na równi pochyłej
  • Nawigacja — obliczanie kursów i odległości
  • Programowanie gier — obliczanie kierunku ruchu, kąta strzału

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1

Treść: W trójkącie prostokątnym przyprostokątna przeciwległa do kąta α wynosi 5 cm, a przyległa 12 cm. Oblicz tg α.

Rozwiązanie: tg α = 5/12 ≈ 0,4167

Zadanie 2

Treść: Z odległości 50 m od budynku mierzysz kąt patrzenia na szczyt = 35°. Jak wysoki jest budynek? (tg 35° ≈ 0,7)

Rozwiązanie: h = 50 × tg 35° = 50 × 0,7 = 35 m

Zadanie 3

Treść: Oblicz tg α, jeśli sin α = 3/5 i α jest kątem ostrym.

Rozwiązanie:

cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25 → cos α = 4/5

tg α = sin α / cos α = (3/5) / (4/5) = 3/4 = 0,75

FAQ — Najczęściej zadawane pytania

Tangens (tg) to funkcja trygonometryczna. W trójkącie prostokątnym tangens kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej. Można go też zdefiniować jako tg α = sin α / cos α.

tg 45° = 1. To dlatego, że w trójkącie prostokątnym równoramiennym (kąty 45°-45°-90°) obie przyprostokątne są równe, więc ich stosunek wynosi 1.

Ponieważ tg α = sin α / cos α, a cos 90° = 0. Dzielenie przez zero jest niewykonalne, dlatego tg 90° nie istnieje. Na wykresie funkcji tangens widać asymptotę pionową w x = 90°.

Powiązane artykuły