Tangens - definicja, wzory, wartości kątów, wykres i zastosowania

Tangens (tg lub tan) to jedna z podstawowych funkcji trygonometrycznych. W trójkącie prostokątnym tangens kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej. Tangens pojawia się w geometrii, fizyce, inżynierii i nawet w codziennym życiu (np. nachylenie rampy). W tym artykule wyjaśniamy definicję, podajemy wartości dla kątów specjalnych, wykres i zastosowania.

Definicja tangensa

W trójkącie prostokątnym

Dla kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym:

tg α = przyprostokątna przeciwległa / przyprostokątna przyległa

Lub równoważnie:

tg α = sin α / cos α

Mnemonik do zapamiętania

Popularne sposoby zapamiętywania funkcji trygonometrycznych:

• sin = przeciwległa / przeciwprostokątna (pp)
• cos = przyległa / przeciwprostokątna
• tg = przeciwległa / przyległa

Wartości tangensa dla kątów specjalnych

Ważne: tg 90° nie istnieje (dzielenie przez zero, bo cos 90° = 0).

Jak zapamiętać wartości tangensa?

Prosta metoda - tangens kątów specjalnych to wzorzec „pierwiastki przez 3":

• tg 30° = √3 / 3 (mały kąt → mała wartość)
• tg 45° = 1 (obie przyprostokątne równe)
• tg 60° = √3 (duży kąt → duża wartość)

Albo: tg 30° = 1/√3, tg 45° = √3/√3 = 1, tg 60° = √3/1 → wzorzec rosnący!

Wzory z tangensem

Podstawowe tożsamości

Wykres funkcji tangens

Wykres tg x ma charakterystyczny kształt:

• Okres: π (180°) - wzorzec powtarza się co π
• Asymptoty pionowe: x = 90° + k·180° (k ∈ Z) - tam tg nie istnieje
• Przechodzi przez początek: tg 0 = 0
• Funkcja nieparzysta: tg(-α) = -tg α
• Monotoniczność: rosnąca w każdym przedziale między asymptotami
• Zbiór wartości: cała oś rzeczywista (-∞; +∞)

Cotangens - funkcja odwrotna

Cotangens (ctg) to odwrotność tangensa:

ctg α = cos α / sin α = 1 / tg α

W trójkącie prostokątnym: ctg α = przyprostokątna przyległa / przyprostokątna przeciwległa.

Zastosowania tangensa

• Nachylenie terenu / rampy - tg kąta nachylenia = wysokość / długość pozioma
• Wysokość budynku - mierząc kąt patrzenia z odległości d: h = d × tg α
• Fizyka - rozkład sił na równi pochyłej
• Nawigacja - obliczanie kursów i odległości
• Programowanie gier - obliczanie kierunku ruchu, kąta strzału

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1

Treść: W trójkącie prostokątnym przyprostokątna przeciwległa do kąta α wynosi 5 cm, a przyległa 12 cm. Oblicz tg α.

Rozwiązanie: tg α = 5/12 ≈ 0,4167

Zadanie 2

Treść: Z odległości 50 m od budynku mierzysz kąt patrzenia na szczyt = 35°. Jak wysoki jest budynek? (tg 35° ≈ 0,7)

Rozwiązanie: h = 50 × tg 35° = 50 × 0,7 = 35 m

Zadanie 3

Treść: Oblicz tg α, jeśli sin α = 3/5 i α jest kątem ostrym.

Rozwiązanie:

cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25 → cos α = 4/5

tg α = sin α / cos α = (3/5) / (4/5) = 3/4 = 0,75

Jak obliczyć tangens kąta

Tangens kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przyprostokątnej leżącej przy tym kącie. Mówiąc prościej, tangens to długość boku przeciwległego podzielona przez długość boku przyległego. Jeśli bok naprzeciw kąta ma długość trzy, a bok przy kącie długość cztery, tangens wynosi trzy czwarte.

Dla typowych kątów wartości tangensa warto znać na pamięć: tangens 45 stopni wynosi 1, ponieważ oba boki są równej długości. Tangens 30 i 60 stopni odczytuje się z tablic trygonometrycznych. W praktyce tangens pomaga obliczać wysokości i odległości, gdy znamy kąt i jeden z boków.