Pierwiastki - jak obliczać krok po kroku

Pierwiastek to liczba, która po podniesieniu do odpowiedniej potęgi daje liczbę pod pierwiastkiem. Pierwiastek kwadratowy działa odwrotnie do podnoszenia do kwadratu, a pierwiastek sześcienny działa odwrotnie do podnoszenia do sześcianu. Dlatego pierwiastek z dziewięciu to trzy, bo trzy do kwadratu daje dziewięć, a pierwiastek sześcienny z ośmiu to dwa, bo dwa do sześcianu daje osiem.

Pierwiastki pojawiają się w zadaniach z algebry, geometrii i fizyki. Są potrzebne między innymi wtedy, gdy trzeba znaleźć długość boku kwadratu na podstawie pola albo obliczyć odcinek z twierdzenia Pitagorasa. Najważniejsze jest to, aby nie traktować pierwiastka jak przypadkowego symbolu. To konkretne pytanie: jaka liczba po podniesieniu do danej potęgi da wynik zapisany pod znakiem pierwiastka?

Co to jest pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy z liczby dodatniej lub zera to taka liczba nieujemna, która podniesiona do kwadratu daje liczbę pod pierwiastkiem. Mówiąc prościej: pierwiastek kwadratowy odpowiada na pytanie, jaka liczba razy sama siebie daje wskazany wynik.

Przykład z dziewiątką jest najprostszy. Pierwiastek z dziewięciu to trzy, ponieważ trzy razy trzy daje dziewięć. Podobnie pierwiastek z szesnastu to cztery, bo cztery razy cztery daje szesnaście. Pierwiastek z jednego to jeden, ponieważ jeden razy jeden daje jeden. Pierwiastek z zera to zero, bo zero razy zero daje zero.

W szkole najczęściej pracuje się z pierwiastkiem arytmetycznym, czyli z wynikiem nieujemnym. To ważne rozróżnienie. Liczba minus trzy również po podniesieniu do kwadratu daje dziewięć, ale pierwiastek kwadratowy z dziewięciu zapisuje się jako trzy, a nie jako minus trzy. Jeśli w równaniu trzeba uwzględnić oba rozwiązania, zapisuje się to osobno.

Jak obliczać pierwiastek kwadratowy

Pierwiastek kwadratowy najłatwiej oblicza się z liczb, które są kwadratami liczb naturalnych. Takie liczby nazywa się często liczbami kwadratowymi albo kwadratami doskonałymi. W praktyce warto znać przynajmniej pierwsze kwadraty, bo dzięki nim szybciej rozwiązuje się przykłady i łatwiej upraszcza pierwiastki.

Kwadraty od jednego do dwunastu są następujące:

Podczas obliczania pierwiastka warto więc szukać liczby, która po pomnożeniu przez samą siebie daje liczbę pod pierwiastkiem. Jeżeli pod pierwiastkiem jest dwadzieścia pięć, odpowiedzią jest pięć. Jeżeli pod pierwiastkiem jest sto czterdzieści cztery, odpowiedzią jest dwanaście. Nie trzeba wtedy używać kalkulatora, bo wynik wynika bezpośrednio z tabliczki kwadratów.

Pierwiastek sześcienny

Pierwiastek sześcienny, czyli pierwiastek stopnia trzeciego, to liczba, która podniesiona do sześcianu daje liczbę pod pierwiastkiem. Podniesienie do sześcianu oznacza pomnożenie liczby przez samą siebie trzy razy.

Pierwiastek sześcienny z ośmiu to dwa, ponieważ dwa razy dwa razy dwa daje osiem. Pierwiastek sześcienny z dwudziestu siedmiu to trzy, bo trzy razy trzy razy trzy daje dwadzieścia siedem. Pierwiastek sześcienny z sześćdziesięciu czterech to cztery, ponieważ cztery razy cztery razy cztery daje sześćdziesiąt cztery.

W pierwiastkach sześciennych można też obliczać pierwiastki z liczb ujemnych w zbiorze liczb rzeczywistych. Pierwiastek sześcienny z minus ośmiu to minus dwa, ponieważ minus dwa podniesione do sześcianu daje minus osiem. To odróżnia pierwiastek sześcienny od pierwiastka kwadratowego.

Właściwości pierwiastków

Najważniejsza własność pierwiastków mówi, że pierwiastek z iloczynu można zapisać jako iloczyn pierwiastków. Działa to wtedy, gdy wszystkie użyte pierwiastki mają sens w liczbach rzeczywistych. Na przykład pierwiastek z trzydziestu sześciu można potraktować jako pierwiastek z iloczynu cztery razy dziewięć. Pierwiastek z czterech to dwa, pierwiastek z dziewięciu to trzy, a dwa razy trzy daje sześć.

Ta sama zasada pomaga upraszczać wyrażenia. Jeżeli pod pierwiastkiem da się znaleźć czynnik, który jest kwadratem doskonałym, można oddzielić go od pozostałej części. Dzięki temu wynik jest prostszy, nawet jeśli nie da się obliczyć całego pierwiastka jako liczby naturalnej.

Druga ważna zasada dotyczy liczb ujemnych. W liczbach rzeczywistych nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. Nie ma takiej liczby rzeczywistej, która po podniesieniu do kwadratu da wynik ujemny. Kwadrat liczby dodatniej jest dodatni, kwadrat liczby ujemnej też jest dodatni, a kwadrat zera jest równy zeru. Dlatego pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej nie ma wartości w liczbach rzeczywistych.

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek

Wyłączanie czynnika przed pierwiastek polega na rozłożeniu liczby pod pierwiastkiem tak, aby jedna część była kwadratem doskonałym. Potem z tej części oblicza się pierwiastek, a reszta zostaje pod pierwiastkiem.

Najprostszy przykład to pierwiastek z dwunastu. Liczbę dwanaście można zapisać jako iloczyn cztery razy trzy. Pierwiastek z czterech to dwa, a pierwiastek z trzech zostaje pod pierwiastkiem. Dlatego pierwiastek z dwunastu zapisuje się jako dwa pierwiastki z trzech.

W tym sposobie nie chodzi o zgadywanie. Trzeba znaleźć największy możliwy kwadrat doskonały, który dzieli liczbę pod pierwiastkiem. Dla dwunastu takim kwadratem jest cztery. Dla pięćdziesięciu takim kwadratem jest dwadzieścia pięć, więc pierwiastek z pięćdziesięciu można uprościć do pięciu pierwiastków z dwóch.

Pierwiastki niewymierne

Nie każdy pierwiastek daje wynik całkowity. Jeśli liczba pod pierwiastkiem nie jest kwadratem doskonałym, wynik często jest liczbą niewymierną. Oznacza to, że nie da się go zapisać jako zwykłego ułamka dwóch liczb całkowitych.

Najbardziej znany przykład to pierwiastek z 2. Jego przybliżenie to około jeden i czterdzieści jeden setnych. To tylko zaokrąglenie, ponieważ dokładna wartość ma nieskończone rozwinięcie dziesiętne bez okresu. W zadaniach szkolnych pierwiastek z dwóch często zostawia się w postaci pierwiastka, chyba że polecenie prosi o przybliżenie.

Warto zapamiętać różnicę między wynikiem dokładnym a przybliżonym. Zapis pierwiastek z dwóch jest dokładny. Zapis około jeden i czterdzieści jeden setnych jest wygodny do szacowania, ale nie jest wartością idealnie równą pierwiastkowi z dwóch.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Najpewniejsza metoda pracy z pierwiastkami polega na zadawaniu jednego pytania: jaka liczba po podniesieniu do odpowiedniej potęgi daje liczbę pod pierwiastkiem? Przy pierwiastku kwadratowym sprawdza się kwadraty liczb, przy pierwiastku sześciennym sprawdza się sześciany, a przy upraszczaniu szuka się kwadratów doskonałych ukrytych pod znakiem pierwiastka.