Równania dwukwadratowe: jak rozwiązać, przypadki i przykłady

Równanie dwukwadratowe to równanie postaci ax do czwartej + bx do kwadratu + c = 0, które rozwiązujemy przez podstawienie t = x do kwadratu. Po podstawieniu zamienia się w zwykłe równanie kwadratowe, które umiemy rozwiązać deltą.

Co to jest równanie dwukwadratowe

Równanie dwukwadratowe ma tylko potęgi parzyste: czwartą i drugą oraz wyraz wolny. Nie ma w nim potęg nieparzystych, czyli x do trzeciej ani x. Ogólna postać to ax do czwartej + bx do kwadratu + c = 0, gdzie a nie równa się zero. Po podstawieniu t = x do kwadratu potęga czwarta zmienia się w t do kwadratu, więc dostajesz zwykłe równanie kwadratowe.

Jak rozwiązać równanie dwukwadratowe

Rozwiązujemy je w trzech krokach:

• Podstawienie: przyjmujemy t = x do kwadratu. Warunek: t musi być nieujemne, bo kwadrat liczby rzeczywistej nie bywa ujemny.
• Rozwiązanie kwadratowe: równanie zamienia się w at do kwadratu + bt + c = 0 i liczymy je deltą.
• Powrót do x: sprawdzasz każde t. Jeśli t jest ujemne, odrzucasz je. Jeśli t = 0, dostajesz jedno rozwiązanie x = 0. Jeśli t jest dodatnie, dostajesz dwa rozwiązania: x = pierwiastek z t oraz x = minus pierwiastek z t.

Checklista rozwiązań

• t mniejsze od zera: odrzucasz, nie daje rozwiązań,
• t równe zero: jedno rozwiązanie, x = 0,
• t większe od zera: dwa rozwiązania, plus i minus pierwiastek z t.

Przykłady różnych przypadków

Cztery rozwiązania. x do czwartej - 5x do kwadratu + 4 = 0. Podstawiamy t = x do kwadratu i mamy t do kwadratu - 5t + 4 = 0. Delta to 25 - 16 = 9, pierwiastek z niej to 3. Stąd t1 = (5 - 3) / 2 = 1 oraz t2 = (5 + 3) / 2 = 4. Oba dodatnie. Z t = 1 mamy x = 1 i x = -1, z t = 4 mamy x = 2 i x = -2. Cztery rozwiązania: -2, -1, 1, 2.

Dwa rozwiązania (jedno t odrzucone). x do czwartej - 3x do kwadratu - 4 = 0. Po podstawieniu t do kwadratu - 3t - 4 = 0. Delta to 9 + 16 = 25, pierwiastek to 5. Stąd t1 = (3 + 5) / 2 = 4 oraz t2 = (3 - 5) / 2 = -1. Ujemne t = -1 odrzucamy. Zostaje t = 4, czyli x = 2 i x = -2. Dwa rozwiązania.

Rozwiązanie z zerem. x do czwartej - 4x do kwadratu = 0. Po podstawieniu t do kwadratu - 4t = 0, czyli t(t - 4) = 0. Stąd t = 0 albo t = 4. Z t = 0 mamy x = 0 (jedno rozwiązanie), z t = 4 mamy x = 2 i x = -2. Razem trzy rozwiązania: -2, 0, 2.

Brak rozwiązań. x do czwartej + 3x do kwadratu + 2 = 0. Po podstawieniu t do kwadratu + 3t + 2 = 0. Delta to 1, pierwiastki to t = -1 oraz t = -2. Oba ujemne, więc odrzucamy je. Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Jak rozwiązać równanie dwukwadratowe?

Podstaw t = x do kwadratu, rozwiąż powstałe równanie kwadratowe deltą, a potem wróć do x: t ujemne odrzucasz, t = 0 daje x = 0, t dodatnie daje plus i minus pierwiastek z t.

Ile pierwiastków ma równanie dwukwadratowe?

Od zera do czterech. Zależy to od tego, ile wartości t jest nieujemnych i czy któraś równa się zero.

Dlaczego t nie może być ujemne?

Bo t = x do kwadratu, a kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny. Ujemne t odrzucamy.

Co gdy t równa się zero?

Wtedy x = 0, czyli jedno rozwiązanie z tej wartości t.