Wzór na deltę i pierwiastki x1, x2: jak obliczyć z przykładami

Delta, oznaczana grecką literą Δ, to wyróżnik równania kwadratowego, który liczymy ze wzoru Δ = b do kwadratu - 4ac. Po obliczeniu delty wybierasz przypadek: dwa rozwiązania, jedno rozwiązanie albo brak rozwiązań rzeczywistych.

Wzór na deltę

Zanim policzysz deltę, sprowadź równanie do postaci ogólnej ax do kwadratu + bx + c = 0, gdzie a nie równa się zero. Dopiero wtedy odczytujesz współczynniki a, b i c. Deltę liczymy ze wzoru:

Δ = b do kwadratu - 4ac

Wzory na pierwiastki x1 i x2

Znak delty decyduje, ile jest rozwiązań i jak je policzyć:

• Δ większa od zera: dwa pierwiastki. x1 = (-b - pierwiastek z Δ) / (2a) oraz x2 = (-b + pierwiastek z Δ) / (2a).
• Δ równa zero: jeden pierwiastek. x0 = -b / (2a).
• Δ mniejsza od zera: brak pierwiastków rzeczywistych.

Trzy przykłady dla każdego przypadku

Delta dodatnia. Równanie x do kwadratu - 5x + 6 = 0. Współczynniki: a = 1, b = -5, c = 6. Δ = (-5) do kwadratu - 4 razy 1 razy 6 = 25 - 24 = 1. Pierwiastek z 1 to 1. Stąd x1 = (5 - 1) / 2 = 2 oraz x2 = (5 + 1) / 2 = 3.

Delta równa zero. Równanie x do kwadratu - 6x + 9 = 0. Współczynniki: a = 1, b = -6, c = 9. Δ = (-6) do kwadratu - 4 razy 1 razy 9 = 36 - 36 = 0. Jest jeden pierwiastek: x0 = 6 / 2 = 3.

Delta ujemna. Równanie x do kwadratu + x + 1 = 0. Współczynniki: a = 1, b = 1, c = 1. Δ = 1 - 4 razy 1 razy 1 = 1 - 4 = -3. Delta jest ujemna, więc równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Typowe błędy przy liczeniu delty

• zły znak b, na przykład pominięcie minusa przy podstawianiu,
• brak nawiasu przy potędze, bo (-5) do kwadratu to 25, a nie -25,
• dzielenie tylko przez a zamiast przez 2a.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Jaki jest wzór na deltę?

Δ = b do kwadratu - 4ac. Podstawiasz współczynniki a, b i c z równania w postaci ogólnej.

Jakie są wzory na x1 i x2?

x1 = (-b - pierwiastek z Δ) / (2a) oraz x2 = (-b + pierwiastek z Δ) / (2a). Mianownik to zawsze 2a.

Co gdy delta równa się zero?

Jest wtedy jeden pierwiastek: x0 = -b / (2a).

Co gdy delta jest ujemna?

Równanie nie ma pierwiastków rzeczywistych.