Wzór na wysokość trójkąta - jak obliczyć wysokość? Wzory, wyprowadzenia i zadania

Wysokość trójkąta to odcinek poprowadzony z wierzchołka prostopadle do przeciwległego boku (lub jego przedłużenia). Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Jak obliczyć wysokość, gdy znamy inne elementy trójkąta? W tym artykule przedstawiamy wszystkie wzory - od najprostszego (z pola) po wzór Herona i trygonometrię.

Czym jest wysokość trójkąta?

Wysokość trójkąta to odcinek prostopadły poprowadzony z wierzchołka na prostą zawierającą przeciwległy bok (podstawę). Punkt, w którym wysokość przecina podstawę (lub jej przedłużenie), nazywamy spodkiem wysokości.

Ważne fakty

• Każdy trójkąt ma 3 wysokości (z każdego wierzchołka po jednej)
• Trzy wysokości przecinają się w jednym punkcie - ortocentrum (środek wysokości)
• W trójkącie ostrokątnym - ortocentrum leży wewnątrz trójkąta
• W trójkącie prostokątnym - ortocentrum leży w wierzchołku kąta prostego
• W trójkącie rozwartokątnym - ortocentrum leży na zewnątrz trójkąta

Wzór podstawowy - z pola trójkąta

Najprostszy i najczęściej używany wzór na wysokość wynika ze wzoru na pole trójkąta:

P = ½ · a · h_a

Stąd:

h_a = 2P / a

Gdzie:

• h_a - wysokość opuszczona na bok a
• P - pole trójkąta
• a - długość boku, na który opuszczamy wysokość

Analogicznie dla pozostałych wysokości:

• h_b = 2P / b
• h_c = 2P / c

Wzór z Heronem - gdy znamy trzy boki

Jeśli znamy długości wszystkich trzech boków (a, b, c), ale nie znamy pola, możemy najpierw obliczyć pole ze wzoru Herona, a potem wyznaczyć wysokość.

Krok 1: Oblicz połowę obwodu

p = (a + b + c) / 2

Krok 2: Oblicz pole (wzór Herona)

P = √(p · (p−a) · (p−b) · (p−c))

Krok 3: Oblicz wysokość

h_a = 2P / a

Lub w jednym wzorze (podstawiając Herona):

h_a = (2/a) · √(p(p−a)(p−b)(p−c))

Wzór trygonometryczny - z kątem i bokiem

Jeśli znamy bok i kąt przy tym boku:

h_a = b · sin C = c · sin B

Gdzie B i C to kąty przy wierzchołkach B i C (leżących na boku a).

Wysokość w trójkątach szczególnych

Trójkąt równoboczny

Wszystkie trzy wysokości są równe:

h = (a√3) / 2

Gdzie a to długość boku. Na przykład: bok = 6 cm → h = 6√3/2 = 3√3 ≈ 5,20 cm.

Trójkąt równoramienny

Wysokość opuszczona z wierzchołka między ramionami na podstawę:

h = √(r² − (a/2)²)

Gdzie r to ramię, a to podstawa. Wysokość ta jest jednocześnie medianą i symetralną podstawy.

Trójkąt prostokątny

Dwie wysokości to po prostu przyprostokątne:

• h_a = b (przyprostokątna)
• h_b = a (przyprostokątna)

Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną c:

h_c = (a · b) / c

Zestawienie wzorów

Zadania z rozwiązaniami

Zadanie 1 - Wysokość z pola

Treść: Pole trójkąta wynosi 30 cm², a podstawa a = 12 cm. Oblicz wysokość.

Rozwiązanie:

h = 2P / a = 2 · 30 / 12 = 60 / 12 = 5 cm

Zadanie 2 - Wysokość ze wzoru Herona

Treść: Boki trójkąta mają długości a = 13 cm, b = 14 cm, c = 15 cm. Oblicz wysokość na bok a.

Rozwiązanie:

p = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21

P = √(21 · 8 · 7 · 6) = √(21 · 8 · 42) = √7056 = 84 cm²

h_a = 2 · 84 / 13 = 168 / 13 ≈ 12,92 cm

Zadanie 3 - Trójkąt równoboczny

Treść: Oblicz wysokość trójkąta równobocznego o boku 10 cm.

Rozwiązanie:

h = a√3 / 2 = 10√3 / 2 = 5√3 ≈ 8,66 cm

Zadanie 4 - Trójkąt prostokątny

Treść: Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 6 cm i 8 cm. Oblicz wysokość opuszczoną na przeciwprostokątną.

Rozwiązanie:

Przeciwprostokątna: c = √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10 cm

h = ab / c = 6 · 8 / 10 = 48 / 10 = 4,8 cm