Wzory skróconego mnożenia: lista, przykłady i zadania

Wzory skróconego mnożenia to gotowe schematy, które pozwalają szybko podnieść sumę lub różnicę do potęgi albo rozłożyć wyrażenie na czynniki. W podstawówce opanuj trzy wzory kwadratowe. W liceum dopisz sześciany i potęgi wyższe.

Trzy podstawowe wzory

Na egzaminie ósmoklasisty i na początku liceum najczęściej używasz trzech wzorów:

Uwaga na najczęstszy błąd: (a + b) do kwadratu to nie jest a do kwadratu + b do kwadratu. Trzeba dopisać środkowy wyraz 2ab, bo mnożymy nawias przez nawias.

Przykłady krok po kroku

Kwadrat sumy. (x + 3) do kwadratu = x do kwadratu + 2 razy x razy 3 + 3 do kwadratu = x do kwadratu + 6x + 9.

Kwadrat różnicy. (x - 3) do kwadratu = x do kwadratu - 2 razy x razy 3 + 3 do kwadratu = x do kwadratu - 6x + 9.

Różnica kwadratów. x do kwadratu - 9 = x do kwadratu - 3 do kwadratu = (x - 3)(x + 3).

Jak rozpoznać wzór od prawej strony

Wzory działają w obie strony. Gdy widzisz x do kwadratu - 16, rozpoznaj różnicę kwadratów: to (x - 4)(x + 4), bo 16 to 4 do kwadratu. Gdy widzisz x do kwadratu + 10x + 25, rozpoznaj kwadrat sumy: to (x + 5) do kwadratu. Takie rozkładanie na czynniki przydaje się przy skracaniu ułamków i rozwiązywaniu równań.

Wzory z sześcianem i wyższe potęgi

W liceum dochodzą wzory z trzecią potęgą:

• (a + b) do sześcianu = a do sześcianu + 3a do kwadratu b + 3ab do kwadratu + b do sześcianu,
• (a - b) do sześcianu = a do sześcianu - 3a do kwadratu b + 3ab do kwadratu - b do sześcianu,
• a do sześcianu - b do sześcianu = (a - b)(a do kwadratu + ab + b do kwadratu),
• a do sześcianu + b do sześcianu = (a + b)(a do kwadratu - ab + b do kwadratu).

Przy jeszcze wyższych potęgach, jak (a + b) do czwartej, współczynniki odczytasz z trójkąta Pascala albo ze wzoru dwumianowego Newtona. Dla czwartej potęgi to 1, 4, 6, 4, 1.

Najczęstsze pytania (FAQ)

Ile jest wzorów skróconego mnożenia?

Najważniejsze są trzy: kwadrat sumy, kwadrat różnicy i różnica kwadratów. W liceum dochodzą wzory z sześcianem i potęgami wyższymi.

Czy (a + b) do kwadratu to a do kwadratu + b do kwadratu?

Nie. Poprawnie (a + b) do kwadratu = a do kwadratu + 2ab + b do kwadratu. Pominięcie wyrazu 2ab to najczęstszy błąd.

Jak rozłożyć różnicę kwadratów?

Ze wzoru a do kwadratu - b do kwadratu = (a - b)(a + b). Na przykład x do kwadratu - 25 = (x - 5)(x + 5).

Skąd wziąć wzór na (a + b) do czwartej?

Z trójkąta Pascala albo ze wzoru Newtona. Współczynniki dla czwartej potęgi to 1, 4, 6, 4, 1.

Wzory skróconego mnożenia - zadania

Wzory skróconego mnożenia najlepiej utrwalić na zadaniach. Trzy podstawowe wzory to kwadrat sumy, kwadrat różnicy oraz różnica kwadratów. Kwadrat sumy mówi, że kwadrat wyrażenia a plus b równa się a do kwadratu plus dwa razy a razy b plus b do kwadratu.

W typowych zadaniach trzeba albo rozwinąć wyrażenie według wzoru, albo zwinąć je z powrotem do postaci iloczynu. Na przykład wyrażenie a do kwadratu minus b do kwadratu można zapisać jako iloczyn a minus b razy a plus b, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów. Regularne rozwiązywanie takich zadań sprawia, że wzory stają się automatyczne i przyspieszają obliczenia.